用空间向量解决立体几何问题方法优化探究.doc

用空间向量解决立体几何问题方法的优化探究 禹州市第一高级中学 吴自来 高中数学立体几何，主要考查学生的空间想象能力，考题一般是两道小题和一道大题，占22分左右，近总分的六分之一。在新课标理科增加了空间向量部分，我们大多数都知道利用向量工具会给我们带来不少的方便，尤其是在求角和距离时，如果用传统的方法去做题，需要按“做—证—求”三步来完成，最难的莫过于求二面角的大小了，往往是我们做不出二面角，更不用说是求它的大小了。空间向量给我们带来了署光，我们只要能够掌握住求角、距离的几个模型和公式，利用空间向量可以轻松的求得要求的角或距离。可是在求角和距离的过程中，一般都会与法向量有关，求法向量则需要解利用垂直条件所得到的方程组。在解方程组时，我们常常会一不小心算错了哪一个数，这样的后果很严重。可是利用向量解题的思路简单，这就使我们有点可望面不可及了。好多学生就是因为怕过不了运算关，宁可舍弃这种方法而用传统的方法求解。有没有好的方法帮助学生跳过这个坎儿呢？这使我回想起高等教材《解析几何》里有两个向量的矢性积的定义和求两个向量的矢性积的方法，如果能将这个方法移植到立体几何里求法向量，岂不快哉？ 首先我们来看一下两向量的矢性积的定义： 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。 方法二(外积法) 两向非零量,的矢性积（也称外积）是一个向量，记做或，它的模是 它的方向与，都垂直，我们通常按，，这个顺序构成右手标架。如右图向上的实箭头线为的方向，向下的虚箭头线的方向．（我们也可以用“右手定则” ，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向。） 我们从上图中就可以看到，两个向量的矢性积与我们要求的法向量很是接近的，如果能够求得两个向量的矢性积，我们就把它作为这两个向量（或它们所在的平面）的法向量，不就可以达到我们的目的了吗？ 我们从两个向量的矢性积的定义可得到如下性质： 两向量与共线的充要条件是＝; ; ＝－;（从模长和方向（用右手标架判断）两方面证它们是相反向量） ; 满足分配律：. 利用上述的性质我信可以证得以下结论成立 结论：如果, 则 证明：因为 ＝ 又因为坐标向量是三个两两互相垂直的单位向量，所以有下列关系式成立 从而得。 为了方便记忆这个公式，我们把两向量的写成，我们定义：； 则所求的法向量： 横坐标为：划去后，得; 纵坐标为：划去后，得; 竖坐标为：划去后，得。 因此我们可以得到： 非零向量即为平面的一个法向量．下面我们还是用具体的实例来看看： 例题1 （2012全国新课标卷19题）如图，直三棱柱中，，是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小。 【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为 （2）方法二：面 从而两两互相垂直，以C为坐标原点，依次为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，设CA=1，则，CB=1，CC1=2，，，，，，， 设平面A1BD的法向量为，则，因此可得 设平面C1BD的法向量为则可取，判定方向，向二面角外， 向二面角内部，其二面角的余弦值为 ，又二面角的范围为所以所求二面角的大小为。 优化方法：方法二用了向量解法，而解方程的过程是不需要写出来的，因此在计算时我们就可以用两向量的矢性积（外积）来求解，求平面A1BD的法向量，列表，其法向量为;平面C1BD的法向量，列表，其法向量为，我们可以口答法向量是什么了。其实可以步优化”,如,从而减学犯错误的可能性°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 解析（Ⅰ）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故 PABD （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则 ,,,。 设平面PAB的法向量为, 即 因此可取= 设平面PBC的法向量为，则 可取=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为 ; 优化方法：上述式子我们仍列出来，至于算我们用两向量的矢性积来做就行了， 求平面PAB的法向量：（这些可以在草纸上进行口算得到） 由写成，法向量为;可以会有的同学会发现所求的法向量与答案所给的不同，我们再仔细看一下，它们有