第4讲三角函数的图象与性质学案.docVIP

第4讲　三角函数的图象与性质 【2013年高考会这样考】 考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性及对称性． 【复习指导】 1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题． 2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等． 3．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点． 4．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用． 基础梳理 1．“五点法”描图 (1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1) ． 2．三角函数的图象和性质 函数性质　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x≠kπ＋，kZ} 图象 对称性 对称轴：x＝kπ＋(kZ) 对称轴：x＝kπ(k∈Z) 无对称轴 对称中心：(kπ，0)(kZ) 　对称中心：(kZ) 对称中心：(kZ) 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间，2kπ＋(kZ)；单调减区间，2kπ＋(kZ) 单调增区间[2kπ－π，2kπ](kZ)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](kZ) 单调增区间，kπ＋(kZ) 奇偶性 (1)周期性 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，xR(　　)．A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数D． 是偶函数 2．函数y＝tan的定义域为(　　)．A. B. C. D. 3．(2012·成都质检)函数y＝4sin x，x[－π，π]的单调性是(　　)． A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 解析　 4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)． A．(－π，0) B. C. D. 解析　5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________．答案　π　 【例1】(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域． (2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值． [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围． (2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决． 解【】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 【训练1】 (1)求函数y＝的定义域． (2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值． 解　考向二　三角函数的奇偶性与周期性 【例2】(2011·大同模拟)函数y＝2cos2－1是(　　)． A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 [审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性． 解析【】求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期求解公式进行． 【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，xR，则f(x)的最小正周期是________． 解析考向三　三角函数的单调性 【例3】已知f(x)＝sin x＋sin，x[0，π]，求f(x)的单调递增区