2019年高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.3 空间点、线、面之间的位置关系课时跟踪检测 理.docVIP

7.3 空间点、线、面之间的位置关系 [课 时 跟 踪 检 测]　 [基 础 达 标] 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1， 从而四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1， 又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F， 则A1B与EF相交． 答案：A 2．下列命题中，真命题的个数为(　　) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2. 答案：B 3．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，但直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件． 答案：A 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为(　　) A. B． C. D． 解析：如图，设正方体的棱长为a，取线段AB的中点M，连接CM，MF，EF.则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角，在△CFM中，MF＝CM＝a，CF＝a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝，所以异面直线AE与CF所成的角的余弦值为.故选C. 答案：C 5．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　) A．4π　　 B． C．6π　　 D． 解析：△ABC的内切圆的半径r＝＝2，又因为AA1＝34，所以在三棱柱中体积最大的球的半径为，此时V＝π×3＝π. 答案：B 6．(2017届郑州模拟)如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC， 所以A1，C1，A，C四点共面， 所以A1C?平面ACC1A1. 因为M∈A1C， 所以M∈平面ACC1A1. 又M∈平面AB1D1， 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上． 所以A，M，O三点共线． 答案：A 7．(2018届福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a?平面α、b?平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)． 解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错． 答案：① 8．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________． 解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1， 因为点D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝a， 所以AB1＝a，B1D1＝a， AD1＝ ＝a. 所以，在△AB1D1中，由余弦定理得， cos∠AB1D1＝＝＝，所以∠AB1D1＝60°. 答案：60° 9．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________． 解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以AD∥BC， 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C