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高等代数精读讲义 南京师范大学数科院 1 子曰：「学而不思则罔，思而不学则殆。」 出自「论语.为政」 （按钱穆先生注：学而不思，不深辨其真意所在，必致迷惘无所得。 思而不学，则事无验证，疑不能解，将危殆不安。故『学与思』当齐 修并进，不可偏废，仅学不思，容易迷失自己。仅思不学，亦是把自 己封闭孤立了。) 子曰: 「学而时习之, 不亦说乎，有朋自远方来, 不亦乐乎，人不知 而不愠, 不亦君子乎」出自「论语. 学而第一」 （注：学习知识，时常温习和实践，不是令人高兴的事吗？有朋友从 远方而来，不也是令人快乐的事儿吗？我有才学，别人不了解自己， 我并不因此而烦恼，这不才是君子吗？） 数形本是两相依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入 微，切莫忘！数形结合百般好，数形割裂万事休。华罗庚 2 第一章 多项式 §1 数域 一．数的起源与发展 从数的形成历史来看，大体经历了这样一个过程。 引入正分数 引入 0 和负数 自然数 正有理数 有理数 引入无理数 引入虚数 实数 复数 自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要．中国古代文献《周 易·系辞下》有记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”，就是说古人开 始用结绳记数，后来改为刻痕记数。其他国家也有类似的记载。随着人类的发展 又发明了一些记数符号，各个国家和地区的记数符号是不同的，中国出土的殷商 甲骨文中已经有完整的十进制记数。 今天我们所用的符号：1，2 ，3，··· 称为 阿拉伯数字，其实是印度人发明的，公元八世纪前后，由印度传入阿拉伯，公元 十二世纪又从阿拉伯传入欧洲，人们误认为是阿拉伯人发明的，所以叫做“阿拉 伯数字”。 正分数的产生源于分配及测量的需求，当不够分或者度量不尽时，就产生了 正分数的概念。比如：当两个人分三张饼时，需要将一张饼分二份，各取其中之 1 1 3 一，这便产生了“二分之一”，今天我们记为 ，每人分到1 或者 张饼。类似 2 2 2 的问题在测量中也会遇到，记尺子的长度为 1，测量到最后不够一尺时，就试图 用正分数来表示。据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分 数的问题．自然数并上正分数便构成了正有理数。 我国古代筹算中，利用“空位”表示零. 公元 6 世纪，印度数学家开始用符 号“0 ”表示零. 但是，把“0 ”作为一个数是很迟的事． 以后,为了表示具有相反意义的量, 负数概念就出现了．在欧洲，直到 16 世纪大 多数数学家还不承认负数，到 17 世纪才对负数有一个完整的认识．引入 0 和负 3 数，就得到了全