线性代数第16讲b教学文稿.pptVIP

线性代数第16讲b;§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量;(一) 向量内积在§3.2中, 我们定义了向量空间Rn中的线性运算. 为了描述Rn中的度量性质, 需引入向量内积的概念.;定义4.5 在Rn中, 设向量;例如, 设a=(-1,1,0,2)T, b=(2,0,-1,3)T, 则a和b的内积为 aTb=(-1)?2+1?0+0?(-1)+2?3=4其它的数学书还有将向量a,b的内积记为?a,b?的;例如, 在Rn中, 向量a=(-3,4)T的长度;向量长度具有以下性质:(1) ||a||?0, 当且仅当a=0时, 有||a||=0.(2) ||ka||=|k|?||a|| (k为实数).(3) 对任意向量a,b, 有 |aTb|?||a||?||b|| (证明略)如果a=(a1,a2,?,an)T, b=(b1,b2,?,bn)T, 上面的不等式可写为;这一不等式称为柯西-布涅可夫斯基不等式, 它说明Rn中任意两个向量的内积与它们的长度之间的关系.则对于任意两个非零向量a,b,可以定义它们之间夹角的余弦为:;;(二) 正交向量组定义4.7 如果两个向量a与b的内积等于零, 即aTb=0, 则称向量a与b互相正交(垂直).;例1. 零向量与任意向量的内积为零, 因此零向量与任意向量正交.例2. Rn中的初始单位向量组e1,e2,?,en是两两正交的:;定义4.8 如果Rn中的非零向量组a1,a2,?,as两两正交, 即;定理 4.8 Rn中的正交向量组线性无关.证: 设a1,a2,?,as为Rn中的正交向量组, 且有数k1,k2,?,ks, 使得 k1a1+k2a2+?+ksas=o上式两边与向量组中任意向量ai求内积, 得;投影向量 如果有一向量a的长度?a??0, 则将它单位化后得到的同方向的长度为1的向量记作a*, 即;假设有两个非零向量a,b, 则定义b在a上的投影的长度lb,a为;因此有;如果已知Rn中的线性无关向量组a1,a2,?,as, 则可以生成正交向量组b1,b2,?,bs, 并使这两个向量组可以相互线性表示. 由一个线性无关向量组生成满足上述性质的正交向量组的过程, 一般称为将该向量组正交化, 将一个向量组正交化可以应用施密特正交化方法. 施密特正交化方法的步骤如下:;对于Rn中的线性无关向量组a1,a2,?,as, 令;或写成;例3. 设线性无关的向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2,0,6,8)T, 试将a1,a2,a3正交化.解: 利用施密特正交化方法, 令 b1=a1=(1,1,1,1)T;a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2,0,6,8)T,  b1=(1,1,1,1)T, b2=(2,2,-2,-2)T;(三) 正交矩阵定义4.9 设n阶实矩阵Q, 满?? QTQ=I则称Q为正交矩阵.例如, 单位矩阵I为正交矩阵, 平面解析几何中, 两直角坐标系间的坐标变换矩阵;正交矩阵具有下述性质:(1) 若Q为正交矩阵, 则其行列式的值为1或-1.(2) 若Q为正交矩阵, 则Q可逆, 且Q-1=QT.(3) 若P,Q都是正交矩阵, 则它们的积PQ也是正交矩阵.(容易自证);定理4.9 设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组.证: 设Q=(a1,a2,?,an), 其中a1,a2,?,an为Q的列向量组. Q是正交矩阵等价于QTQ=I, 而;由此可知QTQ=I等价于;类似可证, Q为正交矩阵的充分必要条件是其行向量组为单位正交向量组.;习题三（B）1. 如果线性方程组;2. 如果线性方程组;3. 如果线性方程组;7. 设向量组a1,a2,…,as线性无关, 则下列各结论中不正确的是[ ](A) a1,a2,…,as都不是零向量(B) a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示(C) a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例(D) a1,a2,…,as中任一部分组线性无关;8. 向量组a1,a2,…,as(s?2)线性相关的充分必要条件是[ ](A) a1,a2,…,as中至少有一个零向量(B) a1,a2,…,as中任意一个向量可由其余向量线性表示(C) a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示(D) a1,a2,…,as中任意一个部分组线性相关;9. 向量组a1,a2,…,as线性无关的充分条件是[ ](A) a1,a2,…,as均不是零向量.(B) a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例(C) a1,a2,…,as中任意一