线性代数第15讲教学文稿.pptVIP

线性代数第15讲;第四章 矩阵的特征值;在经济理论及其应用的研究中, 经常需要讨论有关矩阵的特征值问题. 本章将对这一问题进行初步探讨. 有关结果在动态经济模型, 计量经济学等领域有广泛的应用. 特征值的讨论涉及复数与多项式的理论, 但限于篇幅, 有些问题只能给出结论而不予证明. 而且在讨论过程中尽可能不涉及复数, 在必须涉及时只简要给予说明;§4.1 矩阵的特征值与特征向量;(一) 矩阵的特征值定义4.1 设A为n阶矩阵, l是一个数, 如果方程 Ax=lx (4.1)存在非零解向量, 则称l为A的一个特征值, 相应的非零解向量x称为与特征值l对应的特征向量.(注: l可能是复数, A的元素和x的分量也可能是复数.); |lI-A|=0; Ax=lx (4.1) (lI-A)x=o (4.2)l是矩阵A的一个特征值, 则一定是|lI-A|=0的根, 因此又称特征根. 若l是|lI-A|=0的ni重特征值(根), 方程(lI-A)x=o的每一个非零解向量, 都是???应于l的特征向量.;;以l1=4代入与特征方程对应的齐次方程组(4.3), 得;以l2=-2代入与特征方程对应的齐次方程组(4.3), 得;例2. 求矩阵;所以l1=2, l2=l3=1是矩阵A的特征值, 1是矩阵A的二重特征值.;以l1=2代入特征方程对应的齐次线性方程组(4.3), 得;;以l2=l3=1代入与特征方程对应的齐次线性方程组, 得;;例3. 求矩阵;|lI-A|=(l-1)(l2+l-2)=0求解一元二次方程组l2+l-2=0;当l1=-2有;;当l1=l2=1有;;例4. 求n阶矩阵;解: 因为;取单位向量组;例5. 试证: n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.证: 必要性如果A是奇异矩阵, 则|A|=0. 于是 |0I-A|=|-A|=(-1)n|A|=0即0是A的一个特征值.;;(二) 特征值与特征向量的基本性质定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.证: 由(lI-A)T=lI-AT有 |lI-AT|=|(lI-A)T|=|lI-A|得A与AT有相同的特征多项式, 所以它们的特征值相同.;定理4.2 设A=(aij)是n阶矩阵, 如果;证:设l是Ａ的任意一个特征值, 其对应的特征向量为x, 则Ax=lx, 即;如果;定理4.3 n阶矩阵A互不相同的特征值l1,l2,?,lm, 对应的特征向量x1,x2,?,xm线性无关.证: 用数学归纳法证明.当m=1时, 由于特征向量不为零向量, 因此定理成立.设A的m-1个互不相同的特征值l1,l2,?,lm-1, 其对应的特征向量x1,x2,?,xm-1线性无关. 现证明对m个互不相同的特征值l1,l2,?,lm-1,lm, 其对应的特征向量x1,x2,?,xm-1,xm线性无关.;设 k1x1+?+km-1xm-1+kmxm=o ①成立, 以矩阵A乘①两端, 由Axi=lixi, 整理后得 k1l1x1+?+km-1lm-1xm-1+kmlmxm=o ②由①,②二式消去xm, 得 k1(l1-lm)x1+?+km-1(lm-1-lm)xm-1=o由归纳法所设, x1,x2,?,xm-1线性无关, 于是 ki(li-lm)=0 (i=1,2,?,m-1)因li-lm?0 (i=1,2,?,m-1), 因此k1=k2=?=km-1=0, 于是化为kmxm=o, 又因xm?o, 应有km=0, 因而x1,x2,?,xm线性无关.;定理4.4 设n阶矩阵A=(aij)n?n, A的全部特征值为l1,l2,…,ln(其中可能有重根,复根), 则;证 矩阵A的特征多项式记为f(l), 则;因此, 展开式可写成 f(l)=ln-(a11+a22+…+ann)ln-1+…+cn其中cn是f(l)的常数项. 而 f(0)=|0I-A|=(-1)n|A|=cn因为A的特征值为l1,l2,…,ln, 又有 f(l)=(l-l1)(l-l2)…(l-ln)利用方程的根与系数的关系, 有 l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann;l1l2…ln=|A|即;§4.2 相似矩阵;(一) 相似矩阵及其性质定义4.3 设A,B为n阶矩阵, 如果有n阶非奇异矩阵P存在, 使得 P-1AP=B成立, 则称矩阵A与B相似, 记为A~B.;例如;所以A~B, 即;定理4.4 如果n阶矩阵A,B相似, 则它们有相同的特征值.证: 因P-1AP=B |lI-B|=|lI-P-1AP|=|P-1(lI)P-P-1AP| =|P-1(lI-A)P|=|P-1||lI-A||P|