线性代数第11讲教学文稿.pptVIP

线性代数第11讲;§3.2 n维向量空间;一个m?n矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组, 其每一列都是由m个数组成的有序数组. 在研究其它问题时也常遇到有序数组. 例如平面上一点的坐标和空间中一点的坐标分别是二元和三元有序数组(x,y),(x,y,z). 又如把组成社会生产的各部门的产品或劳务的数量, 按一定次序排列起来, 就得到国民经济各部门或劳务的有序数组.;定义3.1 n个实数组成的有序数组称为n维向量. 一般用a,b,g等希腊字母表示, 有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示. a=(a1,a2,?,an)称为n维行向量. 其中ai称为向量a的第i个分量;;要把列(行)向量写成行(列)向量可用转置记号, 例如;定义3.2 两个n维向量a=(a1,a2,?,an)与b=(b1,b2,?,bn)的各对应分量之和所组成的向量, 称为向量a与向量b的和, 记为a+b. 即a+b=(a1+b1,a2+b2,?,an+bn).由向量加法及负向量的定义, 可定义向量减法: a-b=a+(-b) =(a1,a2,?,an)+(-b1,-b2,?,-bn) =(a1-b1,a2-b2,?,an-bn);定义3.3 n维向量a=(a1,a2,?,an)的各个分量都乘以k(k为一实数)所组成的向量, 称为数k与向量a的乘积, 记作ka, 即ka=(ka1,ka2,?,kan).向量的加, 减及数乘运算统称为向量的线性运算.;定义3.4 所有n维实向量的集合记为Rn, 我们称Rn为实n维向量空间, 它是指在Rn中定义了加法及数乘这两种运算, 并且这两种运算满足以下8条规律:(1) a+b=b+a(2) a+(b+g)=(a+b)+g(3) a+o=a(4) a+(-a)=o(5) (k+l)a=ka+la(6) k(a+b)=ka+kb(7) (kl)a=k(la)(8) 1a=a;;§3.3 向量间的线性关系;线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系 x1a1+x2a2+?+xnan=b称为方程组(3.1)的向量形式.其中;于是, 线性方程组(3.1)是否有解, 就相当于是否存在一组数: x1=k1, x2=k2, ?, xn=kn, 使线性关系式 k1a1+k2a2+?+knan=b成立. 即常数列向量b是否可以表示成上述系数列向量组a1,a2,?,an的线性关系式. 如果可以, 则方程组有解; 否则, 方程组无解. b可以表示成上述关系式时, 称向量b是向量组a1,a2,?,an的线性组合, 或者称b可由向量组a1,a2,?,an线性表示.;定义3.5 对于给定向量b, a1,a2,?,as,如果存在一组数k1,k2,?,ks, 使关系式 b=k1a1+k2a2+?+ksas (3.10)成立, 则称称向量b是向量组a1,a2,?,an的线性组合, 或者称b可由向量组a1,a2,?,an线性表示.;例如, b=(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 显然b=2a1-a2+a3. 即b是a1,a2,a3的线性组合, 或者说b可由a1,a2,a3线性表示.;;证: 线性方程组 x1a1+x2a2+?+xnan=b有解的充分必要条件是: 系数矩阵与增广矩阵的秩相同. 这就是说b可由a1, a2 , ?, an线性表示的充分必要条件是: 以a1, a2, ?, an为列向量的矩阵与以a1,a2,?,an,b为列向量的矩阵有相同的秩.;;例1. 任何一个n维向量a=(a1,a2,…,an)都是n维向量组e1=(1,0,?0), e2=(0, 1, 0, ?, 0), ?, en=(0, 0, ?, 0, 1)的线性组合.因为 a=a1e1+a2e2+?+anene1,e2,?,en称为Rn的初始单位向量组.;例2. 零向量是任何一组向量的线性组合.因为 o=0a1+0a2+?+0as;例3. 向量组a1,a2,?,as中的任一向量aj(1?j?s)都是此向量组的线性组合.因为 aj=0a1+?+1aj+?+0as.;例4. 判断向量b1=(4,3,-1,11)与b2=(4,3,0,11)是否各为向量组a1=(1, 2, -1, 5), a2=(2, -1, 1, 1)的线性组合. 若是, 写出表达式.;;因此b1可由a1,a2线性表示, 且由上面的初等变换可知k1=2, k2=1使b1=2a1+a2.;;(二) 线性相关与线性无关齐次线性方程组(3.9)可以写成零向量与系数列向量的如下的线性关系式 x1a1+x2a2+?+xnan=o它称为齐次线性方程组(3.9)的向量形式.其中