第4章 节 第3讲 中心极限定理 中南大学概率论课件.ppt

概率论;§4.3 中心极限定理 §4.4 中心极限定理(续); 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差 ;测量者观察时视线所产生的误差子力学 ;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差 ;…显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即; 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.; 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:;2.独立同分布的中心极限定理;的分布函数Fn(x),对于任意x,满足;证明:;;例1: 将一颗骰子连掷100次，则点数 之和不少于500的概率是多少？;解：;;特殊情形;由独立同分布的中心极限定理得;;解：;; 在前面介绍的中心极限定理中,不仅要求随机变量序列相互独立,而且要求它们同分布.而实际问题中的许多随机变量序列,说其具有独立性是合理的,但很难满足同分布的要求.为了解决此问题,引入下面的林德贝尔格条件:;(1)若{ }是连续型随机变量序列,密度函数列为{pk (x)},如果对任意的τ0,有;(2)若{ }是离散型随机变量序列, 的分布列为;注:由林德贝尔格定理可以推出林德贝尔格-勒维定理;设{ }为相互独立同分布的随机变量序列,且具有数学期望E( )=μ和方差D( )=σ2 ,若 为连续型随机变量,密度函数为pk(x)=p(x),则;;若存在δ0,使得;证明: 只需验证{ }满足林德贝尔格条件.仍设 为连续型随机变量,密度函数为pk(x);;解：;;;例5:利用中心极限定理证明：; ;小结: 1.中心极限定理的定义； 2.几个中心极限定理：德莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）；林德贝尔格一勒维定理（独立同分布的中心极限定理）; 林德贝尔格定理 ;李雅普诺夫定理 3.利用中心极限定理解决一些实际中??概率计算问题. 作业:P222 　4.33, 4.34, 4.36,4.41