第4章 节 第3节非齐次线性方程组 线性代数课件.ppt

第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 有解 存在一组实数 使 向量组 与向量组 等价 系数矩阵 增广矩阵 有唯一解 Û 有无穷多解 Û 无解 Û 二元一次方程组的解情况 1、 有无穷多个解 K 为任何实数 无解 只有一个解 2、 3、 证明 非齐次线性方程组解的性质 证明 非齐次线性方程组 则 则 的任何两个解 即 是 其中 的通解, 的任何一个特解. 的通解 是对应的 齐次线性 方程组 是对应的 齐次 方程组 是非齐次 线性方程组 例1 解 对增广矩阵 进行初等行变换 它同解于 原方程组有无穷多个解， 通解为 为任意实数 其中 求解方程组 2010年12月考题 取何值时， 解 第三行 减去 第一行 与 第二行 之和 第一列 减去 第二列 与 第三列 之和 (1) 且 时 有唯一解 (2) 时 (1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？ 求其通解， 方程组无解 (3) 时 方程组 有无穷多解. 原方程组同解于 通解为 例4 只有一个解？ 方程组无解？ λ取何值时， 方程组有无穷多个解？ 解 方程组有无穷多个解. 原方程组同解于 通解为 方程组无解 求其通解， 方程组只有一个解 例5 只有一个解？ 方程组无解？ 取何值时， 方程组有无穷多个解？ 解 求其通解， 方程组只有一个解 或 且 方程组无解 且 方程组有无穷多个解. 原方程组同解于 通解为 设向量组 试问： （1） 分析： 解 （1）当 关键在于是否存在x1,x2,x3,使 例6 线性表示， 能由 且表示式唯一； 当 （2） 线性表示 不能由 （3） 线性表示， 能由 且表示法不唯一， 求出一般表示式 线性表示， 能否由 线性表示， 能由 且表示式唯一； 满足什么条件时 时 （2）当 时 线性表示 不能由 （3）当 时 方程组 有无穷多个解 表示法不唯一， 原方程组同解于 一般表示式 其中k 为任何实数 例7 设 是对应的 证明 ：（1） 线性无关 证 设 由于 全部等于零, 则 线性无关 的一个解， 是非齐次 的一个基础解系 证 设 即 由 线性无关得到 全部等于零 结论成立 线性无关 （2） 所以 线性无关， 线性方程组 齐次线性 方程组 115页13 设 n元非齐次线性方程组 是它的 是对应的齐次线性方程组 证明 ：（1） （2） 的通解为 证 （1） 的基础解系 根据条件 的n—r 个解， 根据 线性无关， 线性无关, 记 的一个基础解系 R(A)=r, 只有n—r 个 线性无关的解向量 容易证明 结论正确 分析： （2） 的通解为 其中 通解 112页2（8） 选 (B) 114页6 通解 个线性无关的解 111页1（7） 114页7.设三元非齐次线性方程组 满足 所求的通解 的基础解系中 是Ax=0的2个 含有3-1=2个 线性无关的解向量 线性无关的解向量 且它的三个解向量 系数矩阵的秩为1， 110页例9 设 为n 阶方阵, 且 证明 证 1）若 则 可逆， 由 得 结论正确 2）若 则 的基础解系中 个向量 有 其通解为 设 则 即 是 的解 因此 能由 线性表示， 71页性质4 故 115页9 设 是3 阶非零矩阵, 且 求 及 解 或 时 时 115页14 （n≥2 ）, 设 为n 阶方阵 为 的伴随矩阵 证明 复习 A 有一个r 阶子式 且阶数大于r所有子式 不等于零 ， 全等于零 证 （1）若 则 （2）若 则 故 （3）若 则 结论正确