第4-5章 节 习题课 数值分析 第五版 .pptVIP

一、数值积分与数值微分 第4-5章 习题课(数值积分和数值微分,解线性方程组的直接法) 基本内容及基本要求 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。 了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。 会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。 了解几种常用的数值微分方法。 二、练习 xi 0.5 1 1.5 2 2.5 yi 1.41421 2.00000 2.82843 4.00000 5.65685 三、解线性方程组的直接方法 基本内容及基本要求 了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。 掌握高斯消去法,会矩阵的三角分解。 掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。 掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结论。 了解向量和矩阵的几种范数。 了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。 会初等反射阵和平面旋转阵,了解QR分解,了解用正交约化法解超定方程组。 分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组 四、练习 2. 设A为n阶对称正定阵，试证: (1) A的对角元素aii0; (2) 设L为非奇异阵，则LALT是对称正定阵； (3) 经顺序Gauss消去法A化为 求证A2为对称正定. 证明: (1)由正定二次型理论,aii=e’iAei0. (或因所有主子式0) (2) 因(LALT)T= LALT , 故LALT是对称的; 又因对于任意x≠0,则有y=LTx≠0,从而 xTLALTx=(LTx)TA(LTx)=yTAy 0, 故LALT是对称正定阵. (3) 经顺序Gauss消去法A化为 A2是对称的,因为 A2是正定的,这是因为经顺序Gauss消去法A的各阶顺序主子式的值不变, a11ⅹA2的k阶顺序主子式=A的k+1阶顺序主子式0, 且a110, 于是得出A2的各阶顺序主子式0. 3. 用带行交换的杜利脱尔分解计算线性代数方程组 AX=b，其中 4. 用追赶法求解三对角方程组 * *