第3章 节 分析力学基础 机械动力学课件.pptVIP

例3-6 如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统的运动微分方程。 解： 1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2 、y2。 2）运动分析： 系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。 × × 约束方程微分，消去 × 得到系统的运动微分方程 而 与矢量力学的运动学方程相对照， 可知 是光滑接触面的约束力， 是二力杆 的内力。 当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。 动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。 设一质点系由n个质点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、…qn表示系统的广义坐标。 设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为 ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数： § 3-5 第二类拉格朗日方程 × 由质点系普遍方程： 上式第一项又可以表示为： 注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定为零。 × 代入上式第二项得: × 对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。 所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有： 这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。 表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。 对广义力做如下变换 × 1.证明： 进一步简化，先证明两个等式 对时间求导数 其中 是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。 再对 求偏导数： 得证 在完整约束下 × 对某qj求偏导数 将 对时间求导数得： 2.证明 ： 由此得证 × × 其中 为质点系的动能 该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，每一个方程都是二阶常微分方程。 得 上式称为拉格朗日方程 × 于是拉格朗日方程可写成 上式就是保守系统的拉格朗日方程。 记L=T-V，L称为拉格朗日函数或动势。 如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广义力Qk可写成 × 拉格朗日方程用动势L =T-V表示 拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。 拉格朗日方程的表达式非常简洁，应用时只需计算系统的动能和广义力； 对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。 因为势能是坐标的函数 × 第三章分析力学基础 § 3－1 自由度和广义坐标 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于 系统的自由度数。 质点M被限定只能在球面 （3－1） 的上半部分运动， 由此解出： （3－2） 这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定， 它的自由度数为2。 一般来讲，一个n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束 作用，则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的。 例如: 由这些约束方程，可将其中s个坐标表示成其余3n-s个坐标的 函数，这样该质点系在空间中的位置，就可以用N=3n-s个独 立参数完全确定下来。 描述质点系在空间中的位置的独立参数，称为广义坐标。 对于完整系统，广义坐标的数目等于系统的自由度数 考虑由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束， （3－3） 设 为系统的一组广义坐标 可以将各质点的坐标表示为： （3－4） 由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到 （3－5） 其中 为广义坐标 的变分 ，称为广义虚位移。 § 3－2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 设作用在第i个质点上的主动力的合力 ， 在三个坐标轴上的投影分别为 ， 将式（3-5）代入虚功方程， 得到 （3-6） 如令 （3-7） 则式（3－6）可以写成 （3-8） 上式中 具有功的量纲， 所以称 为与广义坐标 相对应的广义力。 由于广义坐标的独立性， 可以任一取值， 因此若式（3－8）成立， 必须有 （3-9） 上式说明： 质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件 解： 系统有两个自由度， 现选择 和 为系统的两个广义坐标， 计算其对应的广义力 和 ， 用第一种方法计算： （a） 由于 （b） 故 代入式（a）， 系统平衡时应有 （c） 解出 （d） 用第二种方法计算： 保持 不变， 只