第2章 节 导数与微分 《高等数学》 电子教案.ppt

高 等 数 学;第2章 导数与微分;极限反映在一定变化条件下函数的变化情况；;一、导数的概念;解：1）先求平均速度;下面通过三个步骤，抽象出函数的增量与自变 量的增量之比的极限（当自变量增量趋于0时）。;2、导数的定义;★说明;解：;由以上两例， 类似地对幂函数 （ 是实数），有：;同理：;特别地， 时，有：;3、导数的几何意义;4、函数可导与连续的关系;二、求导法则;定理2.1的1）、2）可以推广到有限多个 函数的情形，如下：;例6 求函数 的导数。;例8 求函数 的导数。;例9 求函数 的导数。;例10 求函数 的导数。;2、复合函数的求导法则;例11 求下列函数的导数;课堂练习：;3、反函数的求导法则;反函数与直接函数实际上是一个等式， 只是自变量因变量不同而已。;即：;例13 已知函数 ， 求 。;同理可得：;4、对数求导法;例14 设幂指函数;解：两边取对数得：;解：设;续例16;5、隐函数求导法;1）先将隐函数显化后用以前的方法求导；;例17 求由方程;例18 设;例19 求椭圆;6、由参数方程所确定的函数的求导法; ;例20 求椭圆;2）幂函数的导数：;5）正切函数和余切函数的导数 ：;8）反三角函数的导数 ：;8、高阶导数;把;例21;例22 设;两个函数的和差积求高阶导数： ;例23 设;三、函数的微分;引例;设此薄片的面积为 ，则 是边长 的函数 ，薄片受温度变化的影响时面积的 改变量为：;故可以用第一部分近似代替面积的 增量，即：;可表示为：;续定义2.3;2、微分与导数的关系;结论：;且;令;上式表明函数的微分等于该函数的导数 与自变量微分的乘积。 ;★注意;3、微分的几何意义;4、微分的基本公式和运算法则;1）基本函数的微分公式;2）和、差、积、商运算法则;3）复合函数微分法则;由此，计算微分也可如下：;例24 设;例25 设;即：;解：;解：;1.罗尔定理 ;证明：;（续）;几何解释;例28;2.拉格朗日中值定理 ;几何解释;推论1;例29;引入：;定理2.6(柯西中值定理 );综上所述 ：;（二）罗彼塔法则;1、;证明;例30;例31;如:;2、未定式;例33;例34;例35;例36;3)当某一点;五、利用导数研究函数的性态;反之，;定理2.8;如：;例36 ;例37;小结讨论函数单调性的步骤：;解;例38;例38;(二）函数极值、最值 ;定义2.4;这样;★理解 依定义;其中，;定理2.9;那么如何判断某点是否取得极值呢？;★注意;根据上述介绍，求函数极值的步骤为： ;例41 求函数 的极值。;不是极值点;方法： ;解：;在实际应用中，若函数在区间（开， 闭，半开半闭）上可导且只有一个驻 点，并且在该点处函数取得极值，则 该极值便是最值；若是极大值则为最 大值，若是极小值，则为最小值。 ;可见：;定义2.5：;凹的;凹的;定理2.12 ;解：;一般地，判定函数凹凸性的步骤：;例44;有关拐点的讨论： ;由此，判定函数凹凸性的步骤：;例45;例46;曲线的渐近线有三种： 垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。 ;（五）函数图形的描绘的一般方法;例48;;（4）;例48图：;例48图：;例48图：;例48图：;例49;;又;例49图