第2章 机器人控制技术 知识齐次变换 机器人原理及控制技术 知识 .pptVIP

第二章 齐次坐标变换ChapterⅡ Homogeneous Transformation ;2.1 引言 (Introduction);a; 已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k （2.1） 向量的点积是标量。用“ · ”来定义向量点积，即 a · b = ax bx + ay by + az bz （2.2 ） 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”表示叉积，即 a × b = ( ay bz ˉ az by ) i + ( az bx ˉ ax bz ) j + ( ax by ˉ ay by ) k （ 2.3） 可用行列式表示为 i j k a × b = ax ay az （2.4） bx by bz ;2.2.2 平面（Planes）;【例2.1】对点向量 u = [ 2 3 2 1 ]T 进行平移，平移向量为 h = [ 4 -3 7 1 ]T，则平移后的向量为 v = [ 6 0 9 1 ]T，或 1 0 0 4 2 6 0 1 0 ―3 3 0 v = H ? u = 0 0 1 7 2 = 9 0 0 0 1 1 1 点向量的平移过程如图2.3所示。 对平面的平移则用 H－1 进行变换，如对平面 p = [ 1 0 0 -2 ] 进行 H 变换为平面q，则根据变 换原理有 1 0 0 -4 0 1 0 3 q ＝ p H－1 ＝[ 1 0 0 -2 ] 0 0 1 -7 0 0 0 1 ＝[ 1 0 0 -6 ] 平面 p ＝ [ 1 0 0 -2 ] 是 y－z 平面沿 x 正方向移动2个单位形成的平面（图2.3），点u = [ 2 3 2 1 ]T 是平面 p上的一个点，它们的点乘 p ? u = 0。经 H 变换后的平面 q＝[ 1 0 0 -6 ]是 y－z 平面沿 x 正方向移动6个单位形成的平面，点v = [6 0 9 1]T 是平面 q上一个点，平面 q 与点 v 的点乘也应是零，即 q ? v ＝0，说明变换前后的结果不变，证明 H 变换是正确的。 ;2.5 旋转变换（Rotation transformation）;【例2.2】点 u = 7i + 3j + 2k，它绕z轴旋转90°为v， 经式（2.14）变换得到（ sinθ=1，cosθ=0） 0 -1 0 0 7 -3 1 0 0 0