第1部分第1章 节 群的基本知识 群论讲义PPT.pptVIP

第一部分 群论基础第一章 群的基知识 P.1 (一) 群及其性质 一, 群的定义: 元素(数学对象)的集合{A, B, C, D - - - - -}具备下列条件, 构 成群. 1, 封闭性, AB = C 2, 结合律, A(BC) = (AB)C 3, 单位元(不变元素)E, EA = AE = A 4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E 二, 群的性质: P.2 1, E-1 = E , E 的逆元仍为E, 2, (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 ( 自证 ) 3, (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A (BB-1)A-1 = (AB)-1 (AB) B-1A-1 = EB-1A-1 = B-1A-1 ∴ (AB)-1 = B-1A-1 三, 群阶: 群元数 有限群 h 无限群 ∞ 四, 可换群: ( 阿贝尔群 ) 群乘与群元的顺序无关 AB = BA （二） 群元和群乘 P.3 一, 数群: 以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群 例(1)：全部正负整数 ( 包括 0 ) 的集合，群乘为加法 E = 0， A = n, A -1= -n 这是无限群、可换群 例(2)：全部正负整数 ( 不包括 0 ) 的集合，群乘为乘法 E = 1， A = n, A-1 = 1/n 提问：这是不是群？为什么？ 答案：不是，因为 A-1 = 1/n 不是整数，A 没有逆元。 二, 置换群 P.4 以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群 例: Z3 群 ( 三位置置换群 ) ┌ 1 2 3 ┐ ∣ ∣ 表示将 1、2、3 处之物分别放於 2、3、1 处， └ 2 3 1 ┘ ? ┌ 1 2 3 ┐ [A] [B] [C] → ∣ ∣ → [C] [A] [B] └ 2 3 1 ┘ 四，? 对称群 ( 这是我们最关注的 ) P.7 以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群 例 D3 群 E