理论力学（第三版）第1章 节 部分作业讲解.pptVIP

第一章概念回顾 质点运动描述: 位移, 速度, 加速度, 轨道 牛顿运动定律, 质点动量定理及守恒定律 质点角动量定理及守恒定律 质点动能定理及机械能守恒定律 保守力与势能曲线 例1 (质点运动学) 由光滑钢丝弯成竖直平面里的一条曲线, 质点穿在此钢丝上,可沿着它滑动(图). 已知其切向加速度为－gsin?, ? 是曲线切向与水平方向的夹角. 试求质点在各处的速度. 解: 取直角坐标系如图. 令ds 为质点移动的弧长, 在y方向上投影为dy =ds sin?. 这里只用到切向加速度 由此 O g ? ? ds dy x y 积分 例2 (质点运动方程) 小雨点与大雨点相比, 在空中哪个降落的比较快? 空气阻力为f阻=CSv2. S为雨点表面积, v为雨点速度, C是常数. 解: 当雨点在云层形成以后, 即在重力作用下加速降落. 随着雨点速度的加大, 空气阻力由 0 加大到与雨点的重力mg抗衡 此后它将不再受力, 以一定的速度作匀速直线运动. 雨点最后的速度叫终极速度. 令 终极速度为 故大雨点比小雨点下落得快! 例3 (非惯性系: 科里奥利力) 如图在盘D1上沿径向开一个细槽, 槽内放个小球. 球被细线牵着, 细线跨过位于盘心的一个滑轮,与固联在底座D2中心的一个弹簧相连.当小球在盘心时, 弹簧处于自然长度l0. 整个装置固定在底座D2上, D2可绕中心竖直轴自由旋转. 设所有接触处都是光滑的. (1)当底座带着整套装置以匀角速? 旋转时, 弹簧的劲度系数 k 为多少可以使小球处于平衡? (2)如果此时给小球一个径向初速度 v, 它将作怎样的运动? (3)在小球运动中, 槽边给小球的力 f 为多少? 解: (1)当整个装置旋转时, 在随动的旋转参考系看来, 小球受到一个惯性离心力mr?2 (m为小球质量), 这里小球到圆心的距离r也就是弹簧的伸长量?l. 所以两力平衡条件是 (2) 以上平衡条件与 r 无关, 这意味着小球在距圆心任何径向位置都不受力. 故当它有径向速度v时, 将相对于圆盘作匀速直线运动. (3)槽帮对小球的力属于束缚力,只能从小球在静止参考系(惯性系)中的加速度安过来求得. 设 t =0时刻小球在圆盘上的位置为A, ?t 时间后到达B, (图). 在静止系看来, 小球最初具有两个速度分量: 径向分量 vr=v和角向分量v?=r?. ?t 时间后圆盘转过角度??=??t, v?分量使小球走到 . 如果没有加速度, 此速度分量与vr分量合成, 把小球带到 点. 然而质点实际上到达了B点. 位移 B是由加速度引起的. 利用 在静止系观察 ? O A B ?? 另一方面,由图可以看出 所以 这加速度是槽边给小球的约束力造成的. 所以 例5 (势能曲线) 圆柱面上一个边长为a的方块, 试研究平衡与稳定性. ? ? O r 解: 设圆柱中心势能V=0, 则方块的势能为 一阶导数为 由作图我们知道平衡位置是? =0. 在这一位置, 二阶导数为 ? =0. a2r ? =0. a 2r ? =0. a =2r 部分作业讲解 1.3) 曲柄OA以匀角速?绕定点O转动. 此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动. 求连杆上C点的轨道方程及速度. 设AC=CB=a, ?AOB=?, ?ABO=?. 解:研究对象为C, 建立直角坐标系如图, 则C点的坐标从图中可以得出 轨道方程 x y A r O B C a a 1.6)一质点沿矢径及垂直于矢径初速度分别为?r及?? ,式中?及?是常数. 试证其沿矢径及垂直于矢径的加速度为 1.11)质点沿着半径为r的圆周运动, 其加速度矢量与速度矢量间的夹角?保持不变. 求质点的速度随时间而变化的规律.已知初速度为v0. 解: at沿切线与v同向, 由at, an确定a, a 与at 夹角? at an a ? 1.16)宽度为d的河流, 其流速与到河岸的距离成正比. 在河岸处, 水流速度为零, 在河流中心处其值为c. 一小船以相对速度u沿垂立于水流的方向行驶, 求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点. 解: 设船为动点, 河水为动系, 岸为静止系.沿一岸为x坐标轴方向向右, 则相对速度vy=u, 牵连速度vx=2cy/d, 或者vx=2c(d-y)/d. x y d c u 1.18)一质点自倾角为?的斜面的上方O点, 沿一光滑斜槽OA下降. 如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短, 问斜槽OA与竖直线所成之角? 应为何值? 解: 过O作OB?DA, 令OB=h 要使质点达到斜面上需要的时间最短, 上式必须有极值.即 O A B h D C 1.19)将质量为m的质点竖直抛上入有阻力的