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专题椭圆的切线方程
“椭圆的切线方程”教学设计 马鞍山二中 过程与方法:尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观: 通过对椭圆的切线方程问题的探究,培养学生勤于思考,勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点:应用特殊化(由特殊到一般)方法解决问题。 教学难点:椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一)创设情境 复习:怎样定义直线与圆相切? 设计意图:温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比,都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切,从而通过解析法中联立方程组,消元,一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二)探究新知 基础铺垫: 问题1、已知椭圆与直线只有一个公共点 (1)请你写出一条直线的方程; (2)若已知直线的斜率为,求直线的方程; (3)若已知切点,求直线的方程; (4)若已知切点,求直线的方程。 设计意图:(1)根据椭圆的特征,可以得到特殊的切线方程如。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定,切点确定。 (2)已知斜率求切线,有两条,并且关于原点对称。利用斜截式设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式。切线斜率确定,切线不确定。 (3)已知切点求切线,只有唯一一条。利用点斜式设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式。由于切点是整数点,运算简洁。切点确定,切线确定。可总结由(2)(3)两道小题得到求切线方程的一般步骤:设直线,联立方程组,消元,得到一元二次方程,判别式。 (4)同(3)的方法,但是切点不是整数点,运算麻烦,学生运算有障碍,所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化: 猜想:椭圆与直线相切于点,则切线的方程? (椭圆的切线方程的具体求法,详情请见微课) 设计意图:类比经过圆上一点P(x0,y0)的切线的方程为进行猜想,培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐,思想方法同问题1,所以上课时没必要花费时间进行求解,做成微课方便学生课后时间自己解决。 探究:在椭圆中,有关切线问题,还可以求哪些量? 例:已知圆的方程是x2 + y2 = r2,求经过圆上一点P(x0,y0)的切线的方程。 经过圆上一点P(x0,y0)的切线的方程为,且直线OP垂直于切线,所以,, 1.点与圆 设点P(x0,y0),圆则 点在圆内, 点在圆上 , 点在圆外 由圆方程及直线的方程,消去一个未知数,得一元二次方程,设一元二次方程的根的判别式为Δ,则 与圆相交, 与圆相切, 与圆相离 类比到圆中: 已知圆与直线相切于点,且点在第一象限,若直线与轴、轴分别交于点. 结论(1)过点P的切线方程为; (2);(可以用极限的思想理解,当椭圆中的时,椭圆圆,所以) (3)过点P的切线方程为与轴、轴分别交于点,,,所以;(椭圆中也可理解为趋于时,趋于) (4),当且仅当时,取“=” 由2014年浙江高考题最后一道题 [2014·浙江卷] ,动直线与椭圆只有一个公共点P,且点P在第一象限. (1)已知直线的斜率为,用a,b,k表示点P的坐标;若过原点O的直线l与l垂直,证明:点P到直线l的距离的最大值为a-b. 如图,设椭圆,动直线与椭圆只有一个公共点P,且点P在第一象限. (1)已知直线的斜率为,用a,b,k表示点P的坐标; (1)解:设直线l的方程为y=kx+m(k0),由消去y得(b+a)x2+2a+a-a=0.由于l与C只有一个公共点,,(*),解得点P的坐标为又点P在第一象限,故P的坐标为,且点在第一象限,用点P的坐标表示椭圆的切线方程; (2)解:,则由(1)知, 则可设过点P切线的方程为消参得 代入得 化为整式(因为点P在椭圆上,所以), 两边同除以得椭圆的切线方程,与圆的切线方程做类比,形式相仿。所以,过切点的椭圆的切线方程. (3)连接OP,切线的斜率为,直线的斜率为,求证定值; (3)由(2)中所得的 又因为,所以=定值 (与圆的做类比,可以用极限的思想理解,当椭圆中的时,椭圆加强为了圆,所以) 问题2、已知椭圆与直线相切于点,且点在第一象限,若直线与轴、轴分别交于点,求线段的最小值。 直线的方程设为,则根据两点间的距离公式可得,又因为前面根据直线和椭圆相切已求出(*),代入可得 ,线段的最小值为.当且仅当时,取到“=”.下面再继续讨论“=”取到时的条件。 由前面已证过的知,此时 代入得,所以可得到,,代入得. 问题3、已知椭圆与直线相切于点,且点在第一象限,若直线与轴、轴分别交于点.若过原点O的直线l与l垂直, 证明: 证明:由于过点P的切线方程为,直线与轴、轴分别交于点,所以,则 由于直线l过原点O且与l垂直,故直线l的方程为x+ky=0,所以点P到直线l的距离,,代入得=定值(c为椭圆的半焦距) 问题4、如图,设椭圆,动直线与椭圆只有一个公共
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