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FIGARCH的协同持续性研究 　　【摘要】 波动持续性是广泛存在于金融事件序列的一类普遍现象,波动持续性建模是从动态的角度研究风险变化的一种有效方法。由于分形理论能够准确描述经济行为本身的非线性结构特点,将分形方法引入了协同持续研究中,引出了FIGARCH模型,考察了FIGARCH的协同持续性。 　　【关键词】 金融风险;波动性;协同持续性;FIGARCH 　　 　　一、引言 　　 　　人们在对大量的金融时间序列数据的研究中发现数据的变化存在不确定性,即经济变量的均值和方差并不如传统经济计量学假设那样是固定不变的,而是随时间变化的。在这一背景下,以Engle(1982)为代表的大批经济计量学家在建立新的能有效描述波动的不确定性的手段和方法方面,得出了丰富的研究成果并在实际应用汇总发挥了重要作用。对不确定性的理论和方法的研究形成了现代金融理论的基础。 　　传统的时间序列和经济计量模型通常假定序列在某一时间内具有常数方差,如传统的资本资产定价理论及其模型(CAPM)和套利定价模型(APT)都建立在投资收益和方差为常数的基础上,静态的处理资产资产的定价问题。这一假设在实际应用中经常遭到破坏――人们在对大量的金融时间按学列诸如股市、汇票以及证券等时间序列数据的研究中,已经发现数据的变化存在不确定性,即变量的均值和方差并不是如传统假设那样是固定不变的,而是随时间按变化的,并因此将时间序列的方差的这种时变性称之为波动性。 　　现实观察到的波动性呈现了分数维数,分数单整模型(FIGARCH)或许能够更好的描述时变方差的特点,将向量FIGARCH引入协同持续性研究中。 　　 　　二、FIGARCH模型 　　 　　定义1:如果一个时间序列yt是稳定,则 　　(1)其均值E(yt)与时间t无关。 　　(2)其方差Var(yt)是有限的,并不随着t的推移产生系统的变化。 　　(3)自相关函数以指数率衰减。 　　则该时间序列yt将趋于返回它的均值,以一种相对不变的振幅围绕均值波动。 　　定义2:如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过d次差分,则该序列被称为d阶单整(integration),记为I(d)。换句话说,如果序列yt是非稳定序列,而?塄dyt是稳定序列,则序列yt是I(d)。其中:?塄yt=yt-yt-1,?塄dyt=?塄(?塄d-1yt)同时平稳序列可看出I(0)。 　　现实中大量的金融时间序列显示了介于I(0)和I(1)之间的性质,即既不表现出完全短记忆如I(0),也不是未来的变化永远依赖于初始值如I(1),而是虽有记忆但记忆性缓慢衰减,即表现出自相关函数呈缓慢衰减变化的特征,因此这些序列不能用传统的方法进行研究。Hosking(1981)就分形差分更一般化了最初的ARIMA(p,d,q)值,得出一个自回归的,分形维积分移动平均(ARFIMA)过程,即d可以是任何实数。 　　分形差分是通过将分差过程分裂为较小的要素,分形差分化试图将一个连续过程――分形布朗运动,转变为离散的过程。而整数差分仅是一个总的逼近,当这种简单的模型被强加在一个现实中的过程之上时,容易导致不正确的结论。 　　Baillie等论证,FIGARCH过程的存在可以解释研究者在高频金融数据中普遍发现的IGARCH类型为。研究者论证,GARCH(1,1)模型提供了对连续时间扩散过程的一致离散时间近似,并且随着抽样间隔趋向于0,两个GARCH参数的和趋向于1,从而显示了IGARCH行为。IGARCH意味着条件方差所受到的冲击无线持久,这与我们在大幅冲击后观察到的持久性不符合。且IGARCH还意味着投资主体将会频繁和彻底地改变其投资组合的组成部分,这也与观察到的主体行为不符。时间聚合问题也给IGARCH模型的合理性带来了疑问。Drost和Nijman说明,IGARCH在高频生成的过程应该延续到低频的观察值,但这似乎与大多数经验报告结果不符合。 　　有了这些反常现象后,Baillie等提出,普遍观察到的IGARCH行为也许是长久记忆数据生成过程的产物,他们还提供了相当支持这个论点的模拟实验。在拟合波动率时,似乎应该严肃考虑调和了稳定GARCH与IGARCH的矛盾,更加贴近实际金融时间序列的FIGARCH模型。 　　定义3:分整GARCH模型,若平稳时间序列xt的残差平方项 ?着t2满足差分方程 ?准(L)(1-L)d?着t2=w+[1-?茁(L)]vt,其中00,满足limsup 　　t?邛00 　　??Es(rHtr)-E0(rHtr)??=limsup??Vec2(r)H*t(s)??=0。其中 　　t?邛00 　　ec2(r)=ec2(rr)-diag(r)diag(r)),diag(?)表示将向量化为对角矩阵。