基本初等函数公式和导数运算法则.pptVIP

* 基本初等函数的公式及导数的运算法则 乐山市更生学校 童景平 学习目标： 1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数．2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数??3.会求一些简单复合函数的导数. 教学重点： 导数公式和导数的四则运算法则。 教学难点： 灵活地运用导数的四则运算法则进行相关计算 教学重难点 知识链接 基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式 例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t) = p0(1+5%)t, 其中 为t=0时的物价.假定某种商品的 =1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 解: p?(t)=1.05tln1.05, p?(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年). 因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 当p0=5时,p(t)=5×1.05t 求p关于t导数可以看成求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 如何求? 导数运算法则 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y=x3-2x+3的导数. 解: y?=(x3-2x+3)?＝(x3)?－(2x)?＋(3)? ＝3x2－2, 所以，函数y=x3-2x+3的导数是 y?=3x2-2. 堂上练习 求下列函数的导数： 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率. (1) 90%; (2) 98%. 所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. 如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢? 令 u=x+2 (x-2),则y=lnu. y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x-2)复合得到. y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x) y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2). 许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到 对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f (g(x)) 且 yx?=yu??ux? y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 y=(2x+3)2 y=u2 u=2x+3 复合 y=sin(2x+5) y=sin u u=2x+5 复合 例4 求下列函数的导数: 解: (1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有 (2)函数 y=e-0.05x+1 可以看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根据复合函数求导法则有 (3)函数 y=sin(?x+?) 可以看作函数 y=sinu 和u=?x+?的复合函数.根据复合函数求导法则有 例 6　设 y = sin2 x，求 y ?. 　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以 这里， 我们用复合函数求导法. 求 y ?. 解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式 例 7 *