的中海鲨鱼问题的定量描述.docVIP

题目: 地中海鲨鱼问题的定量描述 内容摘要： 以下通过数学方法对地中海鲨鱼问题进行了定量分析。通过建立了相应的微分方程模型，然后求其相应的数值解，以图像的方式，清晰且直观的反映了战争前和战争中鲨鱼种群数量，鲨鱼百分数以及食饵种群数量随时间的变化。然后根据其变化特点呈周期性，基于此基础上，我们将傅里叶级数应用于此。利用傅里叶级数将数值解的图像进行数据拟合做出一定的结果分析。建立了一个相对简单的n次三角多项式来近似代替了复杂的函数等。 通过利用图像，公式的结合，既清晰又定量地描绘了这一变化。最终我们得出结论：（1）一般情况下食饵种群数量总是多于鲨鱼种群数量；战争中的鲨鱼百分数多于战前时的。（2）人工捕获量的降低，导致鲨鱼在一段时间内大幅度的增加，乃至超过食饵的数量。（3）鲨鱼种群数量，所占百分数以及食饵种群数量随时间呈周期性变化。 关键词： 微分方程模型 数值解 n次三角多项式 傅里叶级数 数据拟合 问题重述： 意大利生物学家Ancona安科纳曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 年代 1914 1915 1916 1917 1918 百分比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 年代 1919 1920 1921 1922 1923 百分比 27.3 16.0 15.9 14.8 19.7 模型假设与符号说明： 假设（一）：食饵由于捕食者的存在使增长率降低（种群数量减少），假设降低的程度与捕食者数量成正比； 假设（二）：捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使出生率增加，假定增长的程度与食饵数量成正比。 假设（三）：由于资源，空间等有限。因此种群之间存在着相互竞争，相互制约等，使之不能够无限增长下去，它应存在某一最大值，此时增长率为零。假定增长率为种群数量的减函数且成正比例关系。 假设（四）：每种种群的内部制约(阻滞作用)是相互独立的，比如食饵种群数量不会与鲨鱼进行竞争。反之亦然。 假设（五）：忽略环境等因素的变化对种群数量的影响。 假设（六）：以上考虑的各种因素同时存在时对种群数量的总影响可以叠加。 相关符号变量的说明： ——食饵在t时刻的数量； ——捕食者在t时刻的数量； （）=——食饵独立生存时的增长率；()——捕食者独自存在时的死亡率； 一一食饵的固有增长率； 一一捕食者的固有增长率； ——捕食者掠取食饵的能力； ——食饵对捕食者的供养能力. 一一一定条件下该生态系统所能容纳食饵的最大数量（即环境容纳量）； 一一一定条件下该生态系统所能容纳鲨鱼的最大数量； e—捕获能力系数（可以指人类对其的捕获）； 一一鲨鱼的百分数随时间变化的函数； 模型的分析与建立： 由假设（一）和假设（六）知：从时刻有：；由假设（二），假设（三）和假设（四）可知：（；）当时即： 所以有：；所以综合上述所有假设可得如下模型: ； ； ； ；；； 因此由上述模型可以针对一组具体的数据用Matlab软件进行计算. 设： ； 战前e=0.3;战争中e=0.1； 将上述数据分别代入得如下两个模型： 战前和战争中： ；； 模型的求解： 在matlab中输入如下命令得战前的数值解：(时间取0----15)；首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shark1(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2)-x(1)/1000); dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1)+0.5*x(2)/100); 其次，建立主程序shark.m如下： [t,x]=ode45(shark1,[0 15],[25 2]); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)) 求解结果如下： 图表 1 图表 2 图表1反映了战前（即食饵和鲨鱼）随t（时间）的变化；其中蓝*线代表食饵，实线代表鲨鱼。 同理输入如下命令（数据仍按上述计算）得战争中的结果： function dx=shark2(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2)-x(1)/1000); dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1)+0.5*x(1)/100