204矩阵的初等变换.pptVIP

五、小结与思考 思考题 思考题解答 ?例 法2 初等变换法 解 法1 先求A的逆，再求 ?例 解线性方程组 解 设方程的矩阵形式为 则 所以 1.初等行(列)变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 3.矩阵等价具有的性质 2. 初等变换 已知四元齐次方程组 及另一 四元齐次方程组 的通解为 解 * * * * 一、初等变换与初等矩阵 二、矩阵的标准形 三、初等变换求逆法 四、利用初等变换解矩阵方程、 线性方程组 五、小结与思考 一、初等变换与初等矩阵 引例 线性方程组的三种等价变换 矩阵的初等变换 对换、倍法、消法变换 初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。 i行 j行 （1）对换矩阵 对换矩阵可逆。 i行 （2）倍法矩阵 倍法矩阵可逆。 i行 j行 （3）消法矩阵 消法矩阵可逆。 注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。 定理2.6 P68（略） 左乘初等阵，作行变换。 右乘初等阵，作列变换。 二、矩阵的标准形 定义2.16 P69 m?n阶矩阵的标准形 定理2.7 P69 任何矩阵A均可经有限次初等 变换化为标准形D。 注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。 定义2.17 P70 若矩阵A经有限次初等变换化 为矩阵B，则称A与B等价。记为 注 任何矩阵A与其标准形D等价。 矩阵等价关系的性质 （1）反身性： （2）对称性： （3）传递性： 解 ?例 化A为标准形 定理2.8 A可逆的充要条件是A可经有限次初等 变换（包括行、列变换）化为单位阵I。 证明 设可逆阵A的标准形为D，由 均为初等矩阵，可逆， 可逆，从而D可逆； A可经有限次初等变换化为 可逆 有（*）取行列式 故A可逆。 定理2.8 说明了矩阵可经初等变换直接判定是否可逆。 一般地，对矩阵进行初等变换，由不同 类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如 方阵 非方阵 三角阵,对角阵 阶梯形 标准形 标准形（不可逆） 单位阵（可逆） 三、初等变换求逆法 定理2.9 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积。（证明参见P72 ） 推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单 位阵。 求逆方法 ?例 P73 解 ?例 全为零， A不可逆。 解 四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组 ?例 解 用初等行变换求得：