高二数学函数的最值及导数1.ppt

求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 练习3:当x1时,证明不等式: 证:设 显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0. 显然,当x1时, ,故f(x)是 [1,+∞)上的增函数. 所以当x1时,f(x)f(1)=0,即当x1时, 例4:证明不等式: 证:设 则 令 ,结合x0得x=1. 而0x1时, ;x1时, ,所以x=1是f(x)的极小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1. 从而当x0时,f(x)≥1恒成立,即: 成立. 思考题： （04浙江文21）（本题满分12分） 已知a为实数， （Ⅰ）求导数 ； （Ⅱ）若 ，求 在[-2，2]上的最大值和最小值； （Ⅲ）若 在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围。 －2≤a≤2 五、小结 1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值. 2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较. 3.应用问题要引起重视. (1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、 不等式的证明及解法中有广泛的作用。 (2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函 数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很 有用. 六、作业 第一次p.253~254课后强化训练第1~8题; 第二次p.255~256课后强化训练第1~6题及9,10题. 导数 导数的定义 求导公式与法则 导数的应用 导数的几何意义 多项式函数的导数 函数单调性 函数的极值 函数的最值 * 鹿邑三高高二数学组 史琳 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 复习:一、函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数 f(x)为减函数 二、函数的极值定义 设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？ 观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？ 新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 知识回顾 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 1．最大值: （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤