概率论与数理统计复习中的几个关键问题.doc

概率论与数理统计复习中的几个关键问题 辅导地位：考研数学辅导的“概率第一人”；数学系教授，中国科学院数学与系统科学研究院博士，现任北京工商大学数理部主任。 授课特点：功底扎实，讲解透彻，条理清晰，重点突出，循循善诱，培养能力，举一反三，脱胎换骨。 名师风采：已承担国家自然科学基金项目三项，省部级项目两项；在国内外重要学术刊物上发表论文29篇，其中多篇被国际三大检索系统（SCI，EI，ISTP）收录；独立完成专著两部，合作完成考研著作多部。 概率论与数理统计复习中的几个关键问题 恩波考研数学名师曹显兵 众所周知，全国硕士研究生入学统一考试除数学二考生外都要考概率论与数理统计这门课程.但在所考的3门课程中，概率统计的平均得分率几乎每年是最低的，尤其比高等数学(或微积分)低得很多；由此得出的结论似乎是概率统计最难学，或者考得最难. 然而事实恰恰相反，概率统计并不比高等数学难掌握，因为其内容和各种计算技巧都比高等数学少得多.当然，作为一门独立的课程，概率统计有它特有的一些基本概念和思路方法，只要掌握了它们，并有较好的高等数学基础，这门课程就一定能融会贯通、运用自如.下面结合典型例题就考生在复习中必须引起重视的几个关键问题谈点个人的建议，相信这对考生将是有益的. 一、独立性 独立性是概率统计中特有的一个概念.表面上看，独立性可分为事件的独立性，随机变量的独立性和试验的独立性，但后两种独立性都是由事件的独立性定义的，因此本质上只须掌握事件的独立性. 1.两事件的相互独立 两个事件A、B相互独立的直观含义是其中一个事件的发生不影响另一事件发生的概率，因此有些实际问题可凭直观进行判断，但严格的理论证明要用下面判别条件之一进行判断： (1) P(AB)=P(A)P(B). (2) P(B | A)=P(B), P(A)gt;0. (3) P(B | A)=P(B |)，0 lt; P(A) lt; 1. (4) P(B | A) + P(|)=1, 0 lt; P(A) lt; 1. 上述4个条件中任何一个都是A、B相互独立的充要条件，但通常用第一个进行判定.下面我们证明(3)，这也是2002年数学四的一个8分大题. 例1 设A、B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1，证明 P(B | A) = P (B |) 是A与B独立的充分必要条件. 证明 充分性：由P(B | A)=P(B |)得 于是 ， 即 ， 故 ，从而A与B相互独立.充分性得证. 必要性：因为A与B独立，即有 ， 所以 ， ， 即 . 必要性得证. 另外，易知必然事件、不可能事件与任何事件 相互独立. 2.多个事件的独立性 n个事件A1，A2，…，An(n3)的独立性有两两独立和相互独立两个不同概念.两两独立是指其中任何两个事件相互独立，即有下列个等式成立： ； 而相互独立是指下列个等式成立： ， 其中.显然，相互独立的事件组一定两两独立，但反之不成立. 3.事件独立的性质 (1)若A1，A2，…，An相互独立，则 ， 这条性质常用来简化相互独立事件概率的计算. (2)若A1，A2，…，An 相互独立，则由事件经过事件运算后所得的事件与由事件经过事件运算后所得的事件也相互独立，其中为1 2 … n的任何一个排列. 例如，若A、B、C、D相互独立，则与一定独立，与一定独立.下面看几个有关的例子. 例2 (1998年数学四) 设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0lt;P(C)lt;1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 (A) 与C. (B) 与 (C) 与 (D) 与 分析 由相互独立事件的性质知(A)，(C)，(D)中三对事件一定相互独立，因此正确答案只可能是(B). 评注 严格说，这个题还应加条件：，否则，从而与也独立了. 例3 (2000年数学四) 设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是 (A)A与BC独立. (B)AB与独立. (C)AB与AC独立. （D）A∪B与A∪C独立. 分析 由于在A，B，C相互独立的条件下，能肯定的结论只有（A），故正确答案只可能是（A）当然也可按照定义进行判断. 评注 从上面两个例子可以看出, 掌握了独立事件的性质, 许多独立性问题将大大简化. 例4 (2003年数学三) 将一枚硬币独立地掷两次, 引进事件:A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面