2001-2002学年第二学期高等数学期中考试试卷解答.docVIP

2001-2002学年第二学期高等数学期中考试试卷答案 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设平面与平面垂直，则【 】． 2. 方程在空间直角坐标系中所表示的曲面名称为【 】． 3. 函数的定义域为【 】． 4. 设，则【 】． 5. 设，则【 】． 6. 设平面区域是由与所围成，则二重积分【 】． 7. 曲面在点处的法线方程为【 】． 8. 记以点、、、为顶点的正方形为，则【 】． 9. 给定曲面，则曲面积分【 】． 10. 交换累次积分的次序：【 】． 答案： 1. ； 2. 抛物柱面； 3. ，或者，； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ． 二．（本题满分6分） 已知平面过原点，且垂直于平面与平面，求此平面方程． 解： 由于所求平面垂直于平面与平面，设平面的法向量为，则有，，其中与分别是平面与平面的法向量．所以， ． 因此，取 又由题设知，平面过原点，因此所求平面为 ． 三．（本题满分6分） 设，，，其中函数与都有连续的一阶偏导数，且．试求． 解： 由于，由方程所确定，因此是变量的一元函数． 而 ， 所以， 四．（本题满分6分） 计算二重积分 ，其中为． 解： 作极坐标变换 则有 五．（本题满分7分） 计算三重积分，其中是两个球，的公共部分． 解： 由，得． 而 所以， 六．（本题满分7分） 求曲面积分 ， 其中是曲面 的上侧． 解： 添加曲面 ，取下侧，设闭曲面（取外侧）所围区域为，由Gauss公式，得 （对称性） 七．（本题满分7分） 计算曲线积分 ，其中为圆周，直线以及轴在第一象限所围成的扇形的整个边界． 解： 由所给的路径，由三段路径组成，故 其中，所以， ，所以， ，所以， 因此， 八．（本题满分7分） 设是由方程组 ，， 确定的隐函数，其中函数，，都具有连续的一阶偏导数，且，试求及． 解： 方程组，，对求导，得 由题设，即，所以，． 因此， ． 方程组，，对求导，得 由题设，即， 所以，，． 因此， ． 九．（本题满分8分） 计算曲线积分：，其中为由点到点的上半圆周 ，为常数． 解： 设为轴上从点到点的一段，闭曲线所围区域为，则由格林公式，得 十．（本题满分8分） 设曲线的方程为，函数有连续的一阶偏导数，为曲线外一点，线段是点到曲线的最短距离，点在曲线上，证明：曲线上点处的法线必过点． 解： 设，，由题设知，必使函数 在条件下取最小值． 令： 解方程组 ， 解上面方程组中的前两个方程，得 这就是直线的方程，其斜率为 ． 又曲线在点处的切线的斜率为 所以， 因此，，所以为曲线在点处的法线． 十一．（本题满分8分） 计算曲面积分 其中为曲面 ，取下侧． 解： 取平面，取上侧．则与构成封闭曲面，取外侧．令与所围空间区域为，由Gauss公式，得 2001-2002学年第二学期高等数学期中考试试卷答案 1 第 9 页 共 9 页