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概率的统计定义 在大量的重复试验中事件A发生的频率 总稳定在一个确定的常数附近,用这个数刻划 事件A发生的可能性大小,并称这个数为事件A 的概率，记为P(A). 3. 基本的组合分析公式 (1) 两条原理 加法原理 乘法原理 （３）组合 从n个元素中取出r个而不考虑顺序 将n个元素分成k个部分，其中第一部分r1个，第二部分r2个，……，第k部分rk个 n个元素中含k类，其中第一类有n1个，第二类有n2个，……，第k类有nk个，现从第i类中取出ri个 例1 已知一批产品共N件，其中M件是次品，现从中任取n件，求其中恰好有k件次品的概率（k ≤ M） 例2 （抽签问题） 袋中有a只黑球，b只白球，除颜色不同外，其余无差别。现把球随机地一只只摸出来，求第k次摸到黑球的概率。 例3 （分房问题） 将k个人随机地分配到N房间里，设 A1={某指定的k个房间里各一人}， A2={恰有k个房间里各一人}， A3={某指定的房间里恰有s人}， 求这三个事件发生的概率。 三、概率的几何定义 几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果 的随机试验。 例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后 即离去。设二人在这段时间内的各时刻到达 是等可能的，且二人互不影响。求二人能会 面的概率。 练习１　已知Ｐ(A)=1/3, P(B)=1/2, 求下列条件下的 . （1）A与B不相容； （2）A包含于B中； （3）P(AB）=1/8； 小结 １．频率与概率的统计定义 ２．古典概型及计算 ３．几何概型及计算 ４．概率的公理化定义及概率的主要性质。 例5 设A与B互不相容，P(A)=0.5， P(B)=0.3，求 例6 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16.问A,B,C中至少发生一个 的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多 少？ 练习2 求50人一个班中至少有两人生日相同的概率。 练习3 从10，11，……，98，99中任取一个两位数，求这个数能被2或3 整除的概率。 §1.2 概 率 及 其 性质 频率 一、概率的统计定义 设事件A在同条件下进行的n次试验 中发生了m次，则称m为事件A在n次试验 中发生的频数,称m/n为事件A在n次试验 中发生的频率,记为fn(A)。 1? 0≤ fn( A) ≤1； 2? fn(Ω)=1, fn(?)=0； 3. 若事件A1,A2,…,Ak两两互斥, 则: 性质 当试验次数不多时频率呈现波动性； 当试验次数充分大时，频率具有稳定性。 频率特性 　　例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在相同条件下大量的射击情况进行观察、并记录。 假设他射击n次,中靶m次, 当n很大时,可用频率m/n作为其中靶概率之估计。 3. 若事件A1,A2,…,Ak两两互斥,则: 概率性质 1? 0≤ P( A) ≤1； 2? P(Ω)=1, P(?)=0； 二.概率的古典定义 如果试验E满足： (1) 试验结果只有有限种， (2) 每种结果发生的可能性相同。 则称这样的试验为古典概型。 1. 古典概型 2. 古典概型中事件概率求法 因Ω={?1，?2 ，…，?n}， {?i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 即P({?i})= 1/n，i=1,2,…n。 因此，若事件A包含k个基本事件，则有 P(A)=k?(1/n)=k/n。 (2) 排列:从含有n个元素中取出r个进行排列 有重复排列 无放回排列 答案：所求概率为 练习1 罐中有12粒围棋子，其中8粒白子4粒 黑子，从中任取3粒，求： （1）取到的都是白子的概率； （2）取到两粒白子，一粒黑子的概率； （3）至少取得一粒黑子的概率； （4）取到的3粒棋子颜色相同的概率。 解: 练习2: 某公司生产的15件产品中,有12件是正品,3件是次品。现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件，设:A={每箱中恰有一件次品}, B={三件次品都在同一箱中}。 求: P(A)和P(B)。 15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有 种等可能的装法。 故基本事件总数有 个。 续: 把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种装法。这样的每一种装法取定以后, 把其余12件正品再平均装入3个箱中,每箱装4件,有 个基本事件。 再由乘法原理,可知装箱总方法数有 即A包含 从而， 例如 某人午觉醒来发觉表停了。他打开