证明三分类题型训练.docVIP

四、《证明（三）》：典解答题型分类训练 （一）、平行四边形（两组对边分别平行的四边形称为平行四边形）： 1．性质定理： ①．平行四边形的对边相等。②．定理：平行四边形的对角相等。 ③．定理：平行四边形的对角线互相平分。④．夹在两条平行线间的平行线段相等。 例1．已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与DC、AB分别相交于点E、F。求证：OE=OF. 例2．已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与DC、AB分别相交于点E、F;与BC、DA的延长线分别交于点M、N。求证：ME=MF. 例3．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC， AD=BC，求证：∠D=∠C。 2．判定定理： ①．定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ②．定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ③．定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ④．定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 例1．已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥DC，AD=5，BD=4，AB=CD， BC比CD长2。求证：四边形ABCD是平行四边形。 例2．已知：如图，□ABCD中，∠ABC的角平分线与AD相交于点E。 求证：ED+CD=BC。 例3．已知：如图，AC是□ABCD的对角线，BM⊥AC，DN⊥AC。 求证：四边形BMDN是平行四边形。 （二）、等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等的四边形称为等腰梯形）： 1．性质定理：①等腰梯形在同一底上的两个角相等。 ②等腰梯形的两条对角线相等。 2．判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 例1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EF=FG=GH=HE. 例2．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD。AB=8，AD=DC=4，∠A=600，求BC的长度。 （三）、三角形 1．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点。 求证：△ADE≌△DBE 例2．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD ，AC、BD是对角线，点E、F、G分别是AD、BD、BC的中点。求证：△EFG是等腰三角形。 (四）、矩形（有一个角是直角的平行四边形称为矩形）： 1．性质定理：①矩形的四个角都是直角。②矩形的对角线相等。 2．判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=600 ，AC=6。求矩形ABCD的面积。 例2．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD ，且AB=CD，AH、BG、CF、DE分别是四边形ABCD各内角的角平分线。求证：四边形EFGH是矩形。 例3．已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点。 求证：四边形EFGH是矩形。 （五）、菱形（一组邻边相等的平行四边形称为菱形）： 1．性质定理：①菱形的四条边都相等。 ②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。 2．判定定理： ①四条边都相等的四边形是菱形。②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 例1．已知：如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，其中对角线BD长6cm。 求（1）对角线AC的长度。（2）菱形ABCD的面积。 例2．已知：在△ABC中，CE平分∠ACB，EG⊥AC，EH⊥BC， DM∥BC，DN∥AC。求证：四边形CMDN为菱形。 例3．已知□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC 分别交于点F、E，与BD交于点O。求证：四边形BEDF是菱形。 （六）、正方形（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形称为正方形）： 1．性质定理： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 2．判定定理：①有一个角是直角的菱形是正方形。②对角线相等的菱形是正方形。 ③对角线互相垂直的矩形是正方形。 例1．已知：如图，四边形ABCD是正方形， 以AC为边作正△AEC。求∠EAB的度数。 例2．已知：如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的 外角平分线围成的四边形。求证：四边形EFGH是正方形。 例3.已知：如图，四边形EFGH以正方形ABCD各边的 中点为顶点。求证：四边形EFGH是正方形。 4 1