初中数学解题思想与方法例谈(何道华).docVIP

初中数学解题思想与方法例谈 四川省绵阳市游仙区新桥中学 何道华 621000 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与数学知识的一种本质认识。 ?数学方法是指人们在数学活动中，为达到预期目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。 数学思想是对数学知识、方法、规律的一种理性的升华，具有高度的概括性和抽象性；数学方法是解决具体问题的策略和程序，是数学思想的载体和具体表现，具有较强的工具性和可操作性；数学思想是在数学方法的基础上高度提炼出来的，而数学方法又是在运用数学知识解决具体问题中形成的。数学思想处于最高层次，在处理具体问题时，具有指导性的地位，因此这三者是相互依存密切联系的。人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念——数学思想方法。 例如，在初中代数中，解多元方程组要用“消元法”，解高次方程要用“降次法”，解某些复杂的方程（组）要用“换元法”。这里的“消元”、“降次”、“换元”都是具体的数学方法，但它们不是数学思想，这三种方法共同体现出“转化”这一数学思想，即把复杂问题转化为简单问题的思想。每一种数学方法，都体现了一定的数学思想；每一种数学思想在不同的场合又通过一定的手段表现出来。这里的手段就是数学方法。 常见的数学思想有：特殊与一般、转化与化归、函数与方程、数形结合、整体、分类讨论等。 下面就每种数学思想所包含的具体方法进行分类，并举例加以说明，以期对所学初中数学知识起到穿针引线的作用，把零散的知识和方法加以总结并提高。 一、特殊与一般 对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化的思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。 1 、特值法 特值法是从给定的区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况，再去考虑问题的解答和合理性。特值法又叫赋值法。 例1：（2014临淄）无论 k 取何值，直线 y=kx-(k-2) 过定点 _________ 解：令 k=0, 得 y=2， 把y=2代入后得k(x-1)=0，因k取任意值，则x=1， 得定点为（1，2）。 例2：（2014通州）若a=1999x+2000, b=1999x+2001, c=1999x+2002，则 为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 分析：从答案看，计算结果与x的取值无关，可令x=-1，则a=1，b=2，c=3。因此原式=3，选D。 例3：（2010青岛）如图所示，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A不落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系保持不变，请试着找出这个规律，并说明你发现的规律的正确性。 解：当点A落在AC边上时，如图2， 此时∠1为0°，易知∠1+∠2=2∠A。 理由如下： 在原△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°①； 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°②； 在四边形BCDE中，∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED=360°③； ①+②-③得：2∠A=∠1+∠2． 2 、归纳法 波利亚在《怎样解题》一书中这样说过：“普遍化（一般化）就是从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合；后者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含该较小集合的更大的集合” ，“更普遍的问题可能更易于求解”。 当具体问题无从下手时，需要跳出来看问题，找到一般解法或规律时原问题就更易于解决。 例1：解方程 分析：通常会想到一般的解法——求根公式，但此题也可用比较简便的方法——因式分解法，当然也可用配方法。结果都是。 例2：（2011安徽）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：： ， ： ， ： 。 （2）写出点的坐标（n是正整数）： 。 （3）蚂蚁从点到的移动方向： 。 解：（1）：（2,0），：（4,0），：（6,0）。 （2）：（2n，0） （3）由（1）（2）题的特殊点可发现一般规律，即每移动四次，最后一次都落在x轴上，且横坐标依次增加2个单位，所以蚂蚁从点到的移动方向是向下的。 例3：（1）计算：①= ； ②= ； ③= 。 （2）根据（1）的计算，你发现了什么规律？请用公式表示出来。