构造满足利普希茨条件的有界闭区域.pptVIP

§3.3 解对初值的连续性和可微性 /Continuous and differentiable dependence of the solutions/  * ? 解对初值的连续性 ? 解对初值的可微性 本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理； 2 了解解对初值及参数的可微性定理。 内容提要 §3.3 Continuity differentiability 3.3.1 解对初值的对称性定理 设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件， 是初值问题 的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式 §3.3 Continuity differentiability 3.3.2解对初值的连续依赖性定理 假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件， 是初值问题 的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当 时，方程满足条件 的解 在区间 也有定义，并且 §3.3 Continuity differentiability 引理 如果 f(x,y) 在某域 D 内连续，且关于 y 满足 利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式 其中 为所考虑区间内的某一值。 证明 设 在区间 均有定义，令 不妨设 因此，有 §3.3 Continuity differentiability 则 于是 因此，在区间 [a,b] 上 为减函数，有 §3.3 Continuity differentiability 对于区间 则 并且已知它有解 类似以上推导过程，令 注意到 因此 两边取平方根，得 §3.3 Continuity differentiability 解对初值的连续依赖性定理的证明 （一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域 因为，积分曲线段 是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径， 表示 f(x,y) 于 内的相应的利普希茨常数。 §3.3 Continuity differentiability 令 则有 且 的边界与S的距离 。对预先给定的 若取 则以S上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域 ，且 f (x，y) 在D上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。 §3.3 Continuity differentiability （二）解对初值的连续依赖性 断言，必存在这样的正数 使得只要 满足不等式 则解 必然在区间 也有定义。 由于D是有界闭区域，且 f (x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为 这是必然有 §3.3 Continuity differentiability 因为否则设 则由引理 由 的连续性，对 必存在 使得当 时有 取 则当 §3.3 Continuity differentiability 于是 对一切 成立，特别地有 即点 均落在D的内部，而不可能 位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间[a,b]上有定义。 §3.3 Continuity differentiability 在不等式 中， 将区间[c，d]换为[a，b] ，可知 ，当 时，有 定理得证。 §3.3