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第二章 数学思想方法的两个源头;第一节 古希腊的《几何原本》; 《几何原本》共13篇，第1篇用23个定义提出点、线、面、圆和平行线等概念，接着是五个公设： (1)从任意一点到任意—点可作直线。 (2)一条有限直线可不断延长。 (3)以任意一点为中心及任意的距离为半径可以画圆。 (4)所有直角都相等。 (5)同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在这条直线的某一侧的两个内角的和小于180度，则这两直线经无限延长后在这一侧一定相交。 ; 在五个公设中，第五个公设不像前四个那样显而易见，这就是后来引起许多纠纷的所谓“欧几里得平行公设”．或简称第五公设。大家很快就认为：欧几里得把这一命题列为公设．不是因为它不能证明，而是找不到证明。这实在是《几何原本》这部不朽巨著的白璧微瑕。 从《几何原本》的问世到19世纪初，许多学者投入无穷无尽的精力，力图洗刷这—“污点”，最后导致非欧几何的创立。 公设之后是五个公理。近代数学不区分公设和公理．凡是基本假定都是公理。; 《几何原本》后面各篇不再列出其它公理。这一篇在公理之后，用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，其中第47个命题就是著名的勾股定理：“在直角三角形斜边上的正方形(以斜边为边的正方形) 等于直角边上的两个正方形。” 第2篇包括11个命题，主要是用几何的语言叙述代数的恒等式。如第4命题“将一线段任意分为两部分．在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上以这两个部分线段为边的矩形的二倍”，就相当于代数恒等式 。第11命题是分线段为中末比．后来被称为黄金分割；第12、13命题相当于余弦定理。 ;第三篇有37个命题．讨论圆、弦、切线、圆周角、内接四边形及与圆有关的图形。 第四篇有16个命题．包括圆内接与外切三角形，正方形的研究，圆内接正多边形(5边、10边、15边)的作图 第五篇是比例论．给出25个命题。 第六篇讨论比例理论的几何应用，共有33个命题。 第七、八、九三篇是数论，共有102个命题，也完全用几何的方式叙述、第九篇第20命题是数论中的欧几里得定理：素数的个数无穷多。 ;第十篇是篇幅最大的一篇，包括115个题．占全书四分之一，主要讨论无理量(与给定的量不可通约的量)，但是只涉及相当于 之类的无理量。 第十一篇讨论空间的直线与平面的各种关系，共有39个命题。 第十二篇利用穷竭法证明了“圆面积的比等于直径平方的比”，还证明了棱锥之间、圆锥之间、圆柱之间和球体之间的体积之比。值得指出的是：欧几里得在任何地方都没有给出圆面积、球体积等的计算。这并非他不知道早已存在的近似计算方法，而是在他看来，这种计算属于实际测量而不用于理论几何。 第十三篇共有18个命题，主要研究五种正多面体，并且证明了(凸的)正多面体不能多于五种。 ;（二）《几何原本》思想方法的特点 1、封闭的演绎体系 《几何原本》是最早形成的演绎体系。在形式上，它是由少数不定义概念，如点、线、面，虽然《几何原本》中“定义”了这三个概念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而且这些定义只是几何形象的直观描述，严格地说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念看作《几何原本》中的不定义概念)等等，和少量不证明的命题(公理和公设)出发，按—定的逻辑规则，定义出该体系中的所有其它概念，推演出所有其它的命题(定理)。 ; 在《几何原本》中，公理是最—般的命题，它们是其后的全部演绎推理的前提。《几何原本》中的所有其它命题都是由公理推导出来的。除了推导时所需要的逻辑规则外，《几何原本》的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不再依赖其它东西。因此，从理论发展形式看，《几何原本》是一个封闭的体系。当然，《几何原本》在证明某些命题时确实运用了除公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别地方，并不影响整个体系；而且那正是作为《几何原本》的“缺陷”而受到人们的批评，后来人们不断地在该体系中剔除直观，从而建立起更严格的数学理论体系，其指导思想正是源于《几何原本》。 ; 另外，从《几何原本》与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说．它也是封闭的。 所以，从本质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。 ;2．抽象化的内容;3公理化的方法; 《几何原本》13篇，共给出475个(有的版本是477个)命题，其中10个作为公理(公设)，其余465个命题部是由公理及有关定义