G22_3高斯公式与斯托克斯公式.pptVIP

第22章 第3节 高斯(Gauss)公式 与斯托克(Stokes)公式 高斯(1777 – 1855) 一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: (1) 设 例1. 用Gauss 公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 例3. 例4. 设函数 斯托克斯(1819-1903) 二、 斯托克斯( Stokes ) 公式 例5. 利用斯托克斯公式计算积分 例6. L 为柱面 三、空间曲线积分与路径无关的条件 证: 例7. 验证曲线积分 思考与练习 作业 备用题1. 设 S 是一光滑闭曲面, 2.计算 3.计算 4.计算 5. 设 ? 是曲面 *附、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 2. 闭曲面积分为零的充要条件 内容小结 其中 为包含原点的任一封闭曲面，且取外侧。 解 令 则 当 时， 作辅助球面 足够小）取内侧。 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, ?为G内任一闭曲面, 则 ① 证: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ② “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 则由高斯公式得 与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的. 取外侧, 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 第十章习题课 第十章习题课 运行时, 点击按钮“相片”, 或按钮“高斯”, 可显示高斯简介,并自动返回. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 运行时, 点击“(斯托克斯公式)”, 或按钮“介绍”, 将显示斯托克斯生平简介, 并自动返回. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 运行时, 点击按钮“公式”, 可看斯托克斯公式的其他形式. * 寄 语 You cannot eat your cake Do not work hard, and have it. work smart! 第一节、第一型曲面积分(或：对面积的曲面积分) 第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式 曲面积分 第22章 本章内容： 第二节、第二型曲面积分(或：对坐标的曲面积分) 第四节、场论初步 一、高斯(Gauss)公式 二、斯托克(Stokes)公式 第22章 本节内容： Green 公式 Gauss 公式 , Stokes公式 推广 Green 公式 Gauss 公式 推广 德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大 恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. 原则: 返回 定理21.3 设空间闭区域 V 由分片光滑的闭曲 V 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面S 所围成, S的方向取外侧, 则有 ( Gauss 公式 ) 为XY型区域 , 则 所以 (2)若 V 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 使用Guass公式时应注意: 其中S 为柱面 闭域 V 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱