初等数论总复习（考核重点）.pptVIP

二、剩余系、完全剩余系 考核内容： 1．剩余系与完全剩余系的概念 2．欧拉函数的定义及性质 考核要求： （1）理解剩余系及完全剩余系的概念； （2）理解欧拉函数的定义及性质； （3）掌握欧拉函数值的计算． 例1．证明：相邻两个整数的立方之差不能被5整除． 证明：因为 , 所以只需证明 .而模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成，所以将 n=0,±1,±2 代入 ,分别得值 1，7，1，19，7；对于模5， 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 故 ；所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除． 综合举例 例2．设n为整数，则 被6除后可能取到的最小非负完全剩余系为_____________． 解：0,1,2,3,4,5． 三、欧拉定理及其应用 考核内容： 1．欧拉定理 2．Fermat小定理 考核要求： （1）了解欧拉定理、Fermat小定理； （2）利用欧拉定理、Fermat小定理解决具体问题． 综合举例 例1．求 的十进制表示的末两位数． 解：原题相当于求 模100的余数. 由Euler定理知 ，故 ， 从而 . 故 十进制表示的末两位数为81 ． 综合举例 例2．求　　　　的十进制表示的末两位数． 解：即求　　　　被100除所得的余数， 由于 　　　　　　　　　　　 以及欧拉定理知 　　　　　　　　　，因此 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ， 所以 　　 的十进制表示的末两位数为49． 四、一次同余式 考核内容： 　1．同余式的定义 　2．一次同余式有解的条件 　3．求解同余式 考核要求： （1）理解同余式的定义； （2）掌握一次同余式有解的条件； （3）熟练掌握求解一次同余式． 综合举例 例1．求解同余式　　　　　　　　 ． 解：因为 (45,132)=3|21,所以同余式有3个解；将同余式化简为等价的同余方程 　　　　　　 ；因此同余式的3个解为： 　　　　　 综合举例 例2．求解同余式　　　　　　　　　 ． 解：因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且 　解的个数为3；又同余式等价 　于　　　　　　　　,即　　　　　　； 利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即　　　　 因此同余式的3个解为：　　　　　　　, 　　　　　　　　　　　　　　　　　, 　　　　　　　　　　　　　　　　　． 综合举例 例3．求解同余式 　　　　　　　　　． 解：因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解；将同余式化简为等价的同余方程 　　　　　　　　　　； 　因此同余式的3个解为：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 综合举例 例4．利用同余式解不定方程　　　　　　. 解：我们先解同余式　　　　　　　　.而此等价于　　　　　　　　.因为　　　　　　,所以　　　　　　　　　,　　　　　　　　.设　　　　　　,代入所给的不定方程,得到 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 所以　　　　　.于是不定方程的解是 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 五、中国剩余定理 考核内容： 　1．中国剩余定理 　2．中国剩余定理的应用 　3．求解同余式方程组 考核要求： （1）理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用； （2）掌握求解简单同余式方程组的方法． 综合举例 例1．求解同余式方程组 　　　　　　　． 解：因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理1，先解同余式: , ,