高等动力学11-分析动力学10-Hamilton正则方程.pptVIP

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 分析动力学之Hamilton正则方程 本节内容 一个力学系统，只要给出了拉格朗日函数L后，可以建立动力学方程： 内容1：Hamilton正则方程（1834年） 内容4：初积分 为力学系统的状态函数； 为描述力学系统运动状态的动力学变量； 是否还有其它的方法来来描述力学体系？ 内容3：相空间 内容2：Legendre变换和Routh方程 Hamilton正则变量 利用广义动量pi和广义坐标qi作为未知量来描述系统，称pi和qi为正则变量或哈密顿变量。 广义动量： 可以反解出： Hamilton正则方程 建立以下Hamilton函数： 将Hamilton函数对广义坐标求导： 广义能量 Hamilton正则方程 而Lagrange方程： 故有： 将Hamilton函数对广义动量求导： 即： Hamilton正则方程 而 为力学系统的状态函数； 为描述力学系统运动状态的动力学变量； Hamilton正则方程的特点 Hamilton方程和Langrange方程是等价的。 正则方程的第一组由数学变换而来，表示变量的变换关系。 正则方程的第二组反映了系统的动力学规律。 Hamilton方程的构造简单而对称：“耦对方程”： 令 Hamilton方程可表示为： 或： 辛(Symplectic)几何结构 其中的矩阵Z称为“耦对矩阵”，具有如下特征： Hamilton正则方程的耦对性，决定了相空间存在“辛几何结构”。 一切守恒的物理过程都能表为哈氏形式，而其数学基础就是辛几何。 冯康因此项研究而于1997年获国家自然科学一等奖。 钟万勰：《弹性力学求解新体系》。 非保守系统的Hamilton正则方程 Lagrange方程： 故有： 而 另有： 非保守系统的Hamilton正则方程为： 例1 x y R m O R q 1. 写出Lagrange函数； 2. 广义动量： 3. 广义速度： 4. Hamilton函数： 5. 代入Hamilton方程： Hamilton函数的物理意义 欧拉齐次式定理： 拉格朗日函数可写为： Hamilton函数为系统的广义能量 例2 1. 系统能量: o ? m ? 质量为m的质点在中心引力场中运动，已知引力 ，求其正则方程。 2. 广义动量: 3. 写出Hamilton函数: Legendre变换 改用微分式重新推导哈密顿正则方程。 在数学上，拉格朗日函数L 的微分为： 消去 ，引入dp： Legendre变换 在数学上，Hamilton函数的微分为： 比较上两式，得： 思路：利用微分式 ，由变量q、dq变为q、p，力学系统的状态函数L变为H的方法成为Legendre变换： 变换保证了新的函数仍为系统的状态函数 Legendre变换 勒让特变换的一般定义如下： 考虑二元函数 ，其全微分为： 引入新变量u，考虑到： 有： Legendre变换得出了关于新的变量u和y的全导数。 再与g的全导数相比较，即可得到一类新的动力学方程 对于多元函数： 新变量：u,y 新函数：g Legendre变换和Routh方程 设系统内有f个广义坐标，其中m个为循环坐标： 将广义坐标分类： 其中的下标?对应于循环坐标，?对应于非循环坐标。 对于循环坐标进行变换，取广义动量为变量，系统的动力学变量为： 根据Legendre变换，定义新的状态函数： R称为劳斯函数 Legendre变换和Routh方程 求全导数： Legendre变换和Routh方程 劳斯方程 正则方程 当系统的拉格朗日函数有循环坐标时，借助于循环坐标，产生了一个用Routh函数描述的新系统，称之为“导出系统”。 导出系统仍然是拉格朗日系统。 lagrange与Hamilton力学 Lagrange力学 Hamilton力学 基本函数 机械能 广义能量 变量 广义坐标 广义坐标和广义动量 解空间 位形空间 ？ 适用范围 完整、理想 完整、理想 积分 广义能量积分 广义动量积分 ？ 相空间 拉氏方程是f个变量的f个二阶微分方程的方程组。 缺点：方程的解在表现为Eq空间的轨线，过Eq空间中任一点，有无数条动力学可能轨线。 引入广义动量： 系统以pi和qi作为未知量，称为正则变量或哈密顿变量。2f个正则变量组成系统的相空间。 优点：方程的解在表现为相空间的轨线，过相空间中的绝大多数任一点，只有一条动力学可能轨线。 相空间：例4：单摆 单摆的总机械能和正则变量的关系为： 其相轨迹方程为： 当hmgl时,相轨迹为1： 当h=mgl时,相轨迹为2： 当hmgl时,相轨