高等动力学20-稳定性5-力学系统的稳定理论(2).pptVIP

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 运动稳定性之力学系统的稳定理论(2) 内容1：广义保守力学系统的稳定性 内容2：线性保守系统的稳定性 本节内容 刚度、阻尼、陀螺力的影响。 定理：匀速转动坐标系内相对平衡稳定性的充分条件为相对势能（V-T0）取孤立极小值。 例：半径为R的圆环以角速度? 匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。忽略摩擦力。试分析系统的平衡位置的稳定性。 解：系统的重力势能： 系统的动能： 广义保守力学系统的稳定性 定义系统的相对势能为： 系统的平衡位置满足： 可以解出平衡位置： 广义保守力学系统的稳定性 1. ： 当 为孤立极小值 当 为孤立极大值 2. ： 为孤立极大值 3. ： 当 为孤立极大值 当 为孤立极小值 广义保守力学系统的稳定性 力学系统的动力学方程可以写为： 对于具有以下形式的保守线性系统： KTC(开尔文-泰特-契达耶夫)定理1：其零解稳定的充分必要条件为刚度阵K为正定。 其中： M为质量阵； K为刚度阵； C为阻尼阵； G为陀螺阵。 M、K、C一般为对称矩阵，G一般为反对称矩阵。 线性保守系统的稳定性 KTC定理2：对于保守－阻尼系统，若保守系统稳定，即K正定,则阻尼阵C的加入不影响系统的零解稳定性。若为完全阻尼，即C为正定，则系统转为渐近稳定。若保守系统不稳定，则加入阻尼阵C后系统仍不稳定。 证： 取V函数 欧拉齐次式定理 耗散力对稳定性的影响 而： 故： 耗散力对稳定性的影响 判断有阻尼存在的下垂摆和倒立摆的稳定性。 解： 下垂摆的受扰运动微分方程为： 倒立摆的受扰运动微分方程为： 下垂摆：刚度阵正定，稳定，阻尼阵正定，渐近稳定。 倒立摆：刚度阵非正定，不稳定，阻尼阵不改变稳定性。 小车加上阻尼，系统的平衡位置是否渐近稳定？ 例：耗散力对稳定性的影响 KTC定理3：对于保守－陀螺系统，若保守系统稳定，即K正定，则陀螺阵G的加入不影响系统的零解稳定性。若保守系统不稳定，且不稳定度（具有正实部特征值的数目）为偶数，则G的加入有可能使系统转为稳定。若不稳定度为奇数，则G的加入不可能改变系统的不稳定性。 陀螺力对稳定性的影响 例：下支撑倒立陀螺 其中： 当 时： 陀螺稳定。 当 时： 陀螺力对稳定性的影响 当 时： 系统的不稳定度为1。 增加陀螺力后，系统仍不稳定。 系统的特征方程： 陀螺力对稳定性的影响 当 时： 系统的不稳定度为2。 增加陀螺力后，系统可转为稳定。 系统的特征方程： 陀螺力对稳定性的影响 陀螺力对稳定性的影响 例：竖立陀螺的稳定性。陀螺有对称轴，质心在G点，质量为m，陀螺绕固定点O旋转，当陀螺竖直时，以角速度ω0绕对称轴旋转，判断稳定性 解：定义惯性系e(0)，随体系e。 受扰运动微分方程 陀螺具有两个广义坐标： α：e3(1)与e3(0)的夹角 β：e3(1)与e3的夹角 设e3向坐标面(e1(0), e3(0) )上的投影为e3(1) 陀螺力对稳定性的影响 没有自旋时的首次近似： 不稳定度为2： 有自旋时的首次近似： 特征方程： 稳定条件： 是否对应于原非线性系统 是否是匀速转动运动的稳定性？ 匀速转动状态稳定 稳定条件取等号 KTC定理4：对于保守－陀螺－阻尼系统，若保守系统稳定，即K正定，则阻尼阵C和陀螺阵G的加入不影响系统的零解稳定性。若C为完全阻尼，即C为正定，则系统为渐近稳定，且不受G加入的影响。若保守系统不稳定，且C为完全阻尼，则由于C的存在，G的加入不可能改变系统的不稳定性。 阻尼、陀螺力对稳定性的影响 例： 特征方程： 其中： 阻尼、陀螺力对稳定性的影响 利用Routh-Hurwitz判据,稳定条件为： 当 时： 原系统稳定。 加入g，稳定。 加入正定的c，渐近稳定。 阻尼、陀螺力对稳定性的影响 利用Routh-Hurwitz判据,稳定条件为： 当 时： 不稳定度为1。 a4＜0,加入g、c不稳定 当 时： 不稳定度为2。 仅加入g，稳定 加入g、c，a3＜0,不稳定 例：单轨车厢的稳定性。 特征方程： 阻尼、陀螺力对稳定性的影响 无飞轮，车厢不稳定 加入飞轮，配重的位置如何选取