第4章 二元关系和函数（3）.pptVIP

4.3 关 系 的 性 质 本节总假定关系是某一非空集合上的二元关系， 这一假定不失一般性。 因为任一A到B关系R， 即RA×B, A×B(A∪B)×(A∪B)， 所以关系R总可看成是A∪B上的关系， 它与原关系R具有完全相同的序偶， 对它的讨论代替对R的讨论无损于问题的本质。  定义4.3.1 设R是A上的二元关系, 即RA×A。 （1） 称R是自反的， 如果对任意x∈A， 均 有xRx。 即R在A上是自反的当且仅当 x(x∈A→xRx)。 （2） 称R是反自反的, 如果对任意 x∈A， xRx均不成立。 即R在A 上是反自反的当且仅当x(x∈A→ xRx)。 （3） 称R是对称的， 如果对任意x∈A, y∈A， xRy蕴涵yRx。 即R在A 上是对称的当且仅当 xy(x∈A∧y∈A∧xRy→yRx)。 （4） 称R是反对称的, 如果对任意x∈A, y∈A， xRy且yRx蕴涵 x＝y。  即R在A 上是反对称的当且仅当 xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)。 反对称性的另一种等价的定义为： R在A上是反对称的当且仅当 xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧x≠y→〈y , x〉R)。 （5） 称R是传递的， 如果对任意x∈A, y∈A, z∈A ， xRy且yRz蕴涵xRz 。 即R在A 上是传递的当且仅当 x yz(x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz→xRz)。 R2＝｛〈a,c〉,〈c,a〉｝ 不是自反的， 是反自反的。 R3＝｛〈a， a〉｝。 既不自反也不反自反的二元关系. A上的Φ关系 是反自反的， 不是自反的。 可是值得注意的是，当 A＝Φ时（这时A上只有一个关系Φ）， A上空关系既是自反的， 又是反自反的， 因为A＝Φ使两者定义的前提总为假。 （3）R7＝｛〈a, b〉,〈b, c〉，〈a,c〉，〈c, c〉｝ 是传递的， R8＝｛〈a， b〉｝ 是传递的. 因为传递性定义的前提对它们而言均为假。 （4） 任何非空集合上的空关系 都是反自反、 对称、 反对称、 传递的； 任何非空集合上的相等关系 是自反、 对称、 反对称、 传递的； 任何非空集合上的全关系 是自反、 对称、 传递的。 (5) 三角形的相似关系、 全等关系 是自反、 对称、 传递的。 （6） 正整数集合上的整除关系 是自反、 反对称、 传递的； 但整数集合上的整除关系只有传递性。 判断一个关系是否具有上述某种的性质 ， 除直接用定义， 还有下面的充要条件。 定理4.3.1 设R为集合A上二元关系， 即RA×A， 则 （1） R是自反的当且仅当IAR。 （2） R是反自反的当且仅当 IA ∩R=Φ。 （3） R是对称的当且仅当R=R -1。 （4） R是反对称的当且仅当R∩R -1IA。 （5） R是传递的当且仅当Rο RR。 关系的基本性质与关系图、 关系矩阵有怎样的联系呢？ 例2 设Ri是A={1, 2, 3}上的二元关系（如图4.4.1所示）， 判断它们各具有什么性质？ 并说明理由。 解 R1具有反自反性、 对称性、 反对称性、 传递性 因为每一结点处均无环， 既无双边又无单边， 既无双边又无三角形。 R2具有自反性、 对称性、 反对称性、 传递性。 因为每一结点处有一环， 既无双边又无单边， 既无双边又无三角形。 R3具有自反性、 对称性、 传递性。 因为每一结点处有一环， 有边就有双边， 有双边又有双环， 有三角形就是向量三角形。 R6具有反自反性、反对称性。 因为每一结点处均无环。 R7具有自反性、 对称性、 反对称性、 传递性。 因为每一结点处有一环，