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（i） 同族中任二直母线异面，异族中 任二直母线共面； （ii） 过单叶双曲面上某一点，某一族 中有且仅有一条直母线； （iii）经过一条直母线的某一平面也必 经过属于另一族的一条直母线； （iv）同族中任三直母线不能平行于同 一平面。 （v） 单叶双曲面的每条直母线都与腰 椭圆相交 二次曲面F(x,y,z)=0若能分解成 * 二次曲面： 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 椭球面 单叶双曲面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 双叶双曲面 双曲抛物面（马鞍面） （ 与 同号） 椭圆锥面 思考题 方程 表示的曲线形状？ §4 直纹面 柱面、锥面和旋转单叶双曲面有一个共同的特点，它们都是由一族直线构成的。这种由一族直线所构成的曲面称为直纹面，直纹面上的直线叫直母线，而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线。 在二次曲面中，哪些是直纹面? 柱面、锥面都是直纹面。其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面。 因为椭球面是有界的，所以椭球面不是直纹面。而双叶双曲面要求|z|≥c,所以如果直线在此曲面上,则直线 必然与xOy面平行(为什么?)，然而这种直线要么相交 于曲面两点要么与曲面不相交，因而双叶双曲面不可能是直纹面。 因而它们都是直纹曲面. 下面我们来证明: 这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成. 我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗? 首先考虑单叶双曲面 （1） 把（1）改写为 或者 （2） (2)与(1)等价吗? 等价! （2） 现在引进不全等于零的参数u，u，, 将上述方程写为: 改写为: (2)/ (3) (3)与(2)等价吗? 等价! 对于给定的u,u， (3)表示什么曲线? 直线 （2） (2)/ (1) (3) (3)表示一族直线 其中， 为参数。若 成比例，则 它们确定(3)族中的同一条直线，若它们不成比例，则确定不同的直 线。所以(3)实际上只依赖于 u 与 u， 的比值。 同样直线族 （3） 是单叶双曲面(1)的另一族直母线. (4) u族直线. v族直线. 直纹面在建筑学上有意义 含两族直母线 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。 . 单叶双曲面是直纹面 单叶双曲面的直母线有如下性质(了解) 对于双曲抛物面 同样地可以证明它也有两族直母线 它们的方程分别是 和 分别称为u族和v族直母线. 含两族直母线 双曲抛物面是直纹面 其中 的次数小于等于1,则 F(x,y,z)=0是直纹面,并且直母线族可表示为: 或 (2) (1) 若(1),(2)表示相同的直线族,则此曲面是柱面或锥面. 当直母线的方向向量与参数无关时为柱面, 当通过一定点时,则为锥面. 第二章 练 习 题 第二章 练习题答案 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。 马鞍面是直纹面。 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 这样一族直线称为曲面S的一族直母线。 马鞍面有两个直母线系。 * *