专题2.10+中档大题规范练10（数列%2b概率%2b立体几何%2b选讲）（第02期）（理）+Word版含解析.docVIP

类型 试 题 亮 点 解题方法/思想/素养 数列大题 等差中项的应用 累加法求通项公式 累加法求通项公式 概率大题 非线性回归分析方程的求解及应用 换元法求解非线性回归方程 数据的处理和运算能力 立体几何 二面角、线面角的求解 存在性问题 利用空间向量解决二面角、线面角 空间想象力和运算能力的考查 选讲1（极坐标参数方程） 参数方程与普通方程的互化 直线与椭圆的位置关系 椭圆参数方程的应用 选讲2（不等式） 由等量关系证明不等式 基本不等式的灵活应用 1.数列大题 已知数列， 满足，记的前项和为，已知， . （1）若，求； （2）若，求的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 2.概率大题 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280 表中，. 与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） 根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 已知这种产品的年利润与、.根据的结果回答下列问题： 年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. （1）（2）（3），年利润.年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大. 试题解析： 解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程 ， ， 所以关于的线性回归方程为， 关于的线性回归方程为. 由知，当时，年销售量的预报值为， . 根据的结果知，年利润的预报值 ， 当，即时，年利润的预报值最大， 故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大. 3.立体几何 在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， ， 是的中点， 在线段上，且满足. （1）求证： 平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）；（3） （1）由题意可得， ， 两两互相垂直，如果，以为原点， ， ， 分别是， ， 轴建立空间直角坐标系，则， ， ， ， 设平面的法向量为 ， ∴，令∴ 又，∴，∴ 平面 ∴ 平面 （3）设， ∴ ∴ ∵与平面所成角的余弦值是∴其正弦值为 ∴，整理得： ，解得： ， ∴存在满足条件的点， ，且 点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有. 4.选讲1（极坐标参数方程） 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数，为实数），直线与曲线交于两点. （1）若，求的长度； （2）当面积取得最大值时（为原点），求的值. 【答案】(1)；(2)0. 故， 所以的长度. 5.选讲2（不等式） 已知实数满足，证明： （1）； （2）. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由，化简得，再由，即可作出证明； （2）因为，所以，利用基本不等式，得，进而证的结论. 试题解析： （1）由，得， 所以， 即. 因为，当且仅当时，取等号， 所以， 所以， 即.