coxingersollross模型的推广及其eulermaruyama方法近似分析word格式论文.docxVIP

独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本论文属于必威体育官网网址□，在年解密后适用本授权书。不必威体育官网网址□。（请在以上方框内打“√”）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日1引言1.1随机微分方程在经济金融中的应用随机微分方程可以描述相当广泛的一类经济、金融现象。最近几年，怎样用随机微分方程理论定量研究金融市场，已经越来越引起人们的关注。由于现实的金融现象中夹杂着很多不确定性因素，而这些不确定性又是由大量随机因素干扰的结果，所以，在对金融现象的数学描述中运用随机微分方程就是不可避免的。早在二十世纪七十年代，著名经济学家默顿[2]等人就已经将随机微分方程理论应用于经济与金融现象中，并获得了令人瞩目的结果。在现实的金融市场中,短期利率是一个最基本、最重要的金融数量,已经有很多经典的随机微分方程模型可以描述这个金融数量。若令R(t)表示在时刻t的短期利率,在经典的Black??Scholes模型[3]中，资产价格是用如下的一个几何布朗运动描述的，即dR(t)???R(t)dt???R(t)d?(t)其中，参数??、??均是正的常数，??称为平均收益率,??称为波动率，?(t)表示一维布朗运动。当然，还有很多可以用线性随机微分方程来描述的著名的金融模型，如：Dothan[5]dR(t)???R(t)d?(t)Merton[2]dR(t)???dt???d?(t)BrennanandSchwartz[4]dR(t)??(?????R(t))dt???R(t)d?(t)Vasicek[7]dR(t)???(????R(t))dt???d?(t)在这些模型中参数??、??、??均为常数,?(t)表示布朗运动。其中，第四个Vasicek模型是第一个具有均值回复性质的利率期限结构模型，但是这个模型有一个明显的缺点，就是短期利率有可能为负[38]。但是,由于随机微分方程本身的复杂性，可求出显示解的随机微分方程很少，其中非线性的随机微分方程就是没有显示解的。例如，Cox、Ingersoll和Ross在1985年提出了一个著名的Cox-Ingersoll-Ross?CIR??模型[8]，这个模型可以用下面的随机微分方程来表示dR(t)??(?????R(t))dt???R(t)d?(t)其中??、??、??均为常数,?(t)表示布朗运动。这个模型是一个利率总是非负的均衡模型，它假设利率随机微分方程中的波动因子随着利率水平的变化而相应的发生变化，当利率变化很小时，波动因子相应的变化也会很小，这样就解决了Vasicek模型中短期利率有可能为负的缺点。当然，这个模型本身也是有缺点的，就是短期利率在有些情况下可能为零[38]。对于上面提到的五个随机微分方程模型，只要对其中的参数加以适当的限制，就可以用如下的一个随机微分方程表示出，即dR(t)???(????R(t))dt???R??(t)d?(t)其中??、??、??、??均为常数，?(t)表示布朗运动。这个随机微分方程可以称为均值回复的??过程，其中常数????12。当????12时，它就是著名的均值回复的平方根过程，这个模型已被广泛应用于描述波动性、利率及其他的一些金融数量等。对任意给定的初始值R(0)??0，则对任意的t??0，R(t)??0几乎必然成立[14]。当然，这是这个随机微分方程能够描述现实金融现象的最基本的一个条件。许多作者已经研究了这个方程的分析性质，其中，Higham和Mao研究了此方程的蒙特卡罗模拟的强收敛性。对于当????(1 2,1)时,同样可证明出对任意给定的初始值R(0)??0，则对任意的t??0，R(t)??0几乎必然成立这个基本条件；Maoetal[16]讨论了此时方程的分析性质及其数值解的强收敛性。一些实证的研究则表明这个方程其中的参数????1，例如，Chanetal[17]得到????1.449；利用同样的数据，Newman[18]使用了另外的一种方法，得到了????1.361。所以，以后也更有依据在参数????1这种情行下考虑上述方程。但是，这些随机微分方程模型仍不能很好地解释及描述一些实际的金融现象，