直线和平面垂直判定 (2).pptVIP

直线与平面垂直 直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. ? A 平面的垂线 直线的垂面 垂足 注意：1.定义中的任意一条直线为所有直线，但与无数条直线不同 2.直线和平面垂直只是相交的一种特殊形式 3.直线和平面垂直的定义简称线面垂直，则线线垂直 判断下列命题是否正确？ × (1)若一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面 平行。（） (2)若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线与这个平面 垂直。( ) × 在几何中，定义兼具两重性，既是判定又是性质。 判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的一种方法； 性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。（此结论经常用） ? a b ? L P 直线和平面垂直的画法 记作：L⊥ ? 通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。 线面垂直直观图的画法： m n ? 实例 2、判定直线和平面垂直的方法 方法（1）根据定义 (最基本的方法) a是α内任一条直线 ? L P a 方法(2)直线和平面垂直的判定 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知： ， ． 求证： ． 证明：设 是 内的任意一条直线．(定义) 可作定理使用 ? A m n B 猜测：如果一条直线l和一个平面α内的两条相交直线m,n都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ? m n B A A’ c D g E 方法（3）直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ? A m n B 推理模式： a a a ^ ^ ^ = ? ì ì l n l m l B n m n m , , , 线线垂直 线面垂直 ? ? ? ? m n m n m n m n ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ B B B B (1)、若一条直线与一个三角形的两条边垂 直，则这条直线垂直于三角形所在的平面。( ) (2)、若一条直线与一个平行四边形的两条 边垂直，则这条直线垂直于平行四边 形所在的平面。( ) (3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( ) √ × √ 判断下列命题是否正确？ (4)、共点的三条直线中的任一条垂直于另两条 所确定的面 (√ ) 判断下列命题是否正确？ (1)过一点有且只有一条直线和一个平 面垂直。( ) (2)过一点有且只有一个平面和一条直 线垂直。( ) √ √ 例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条。 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。 证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂足为A(或P)， 如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β, 且α∩β=a， 于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a， 这是不可能的。所以过点P与α垂直的直线只有一条。 a a 例2的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 例3．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l. 求证：AP在α内。 证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP不在α内， 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α，AM α, 所以l⊥AM， 又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的， 所以AP一定在α内。 例4: 已知 ， 于 ， ． 于 求证： 例5:已知 平面 ， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的任一点，求证： ． 6． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，求证：B1H⊥平面AD1C. 证明：连接B1D1， ∵ B1B⊥AB，B1B⊥BC， ∴ B1B⊥平面ABCD， ∴ B1B⊥AC， ∵ 又AC⊥BD， ∴ AC⊥平面BB1D1D， 又B1H