《数值分析》李庆杨-第五版第3章教学课件.ppt

第3章 函数逼近与快速傅里叶变换 3.1.2 范数与赋范线性空间 3.1.3 内积与内积空间 3.2 正交多项式 3.2.2 勒让德多项式 3.2.3 切比雪夫多项式 3.2.4 切比雪夫多项式零点插值 3.2.5 其他常用的正交多项式 3.3 最佳平方逼近 3.3.2 用正交函数族作最佳平方逼近 3.4 曲线拟合的最小二乘法 3.4.2 用正交多项式做最小二乘拟合 3.5 有 理 逼 近 3.5.2 帕德逼近 3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换 3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值 3.6.2 点DFT与FFT算法 例9 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线. 解 将所给数据在坐标纸上标出，见图3-5. 图3-5 从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线， 令 这里 故 解得 由（4.6）得方程组 于是所求拟合曲线为 （4.6） 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据， 为拟合多项式的次数， 输出参数 为拟合多项式的系数. 利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合. x=[1 1 2 3 3 3 4 5]; f=[4 4 4.5 6 6 6 8 8.5]; aa=poly(x,f,1); y=polyval(aa,x); plot(x,f,’r+’,x,y,’k’) xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); gtext(‘y=s1(x)’） 结果如下： 例10 设数据 由表3-2给出， 用最小二乘法确定 及 . 表中第4行为 通过描点可以看出数学模型为 若令 先将 转化为 为确定 ， 根据最小二乘法，取 则得 数据表见表3-2. 得 解 它不是线性形式. 用给定数据描图可确定拟合曲线方程为 两边取对数得 故有法方程 解得 于是得最小二乘拟合曲线为 利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合. x=[1.00 1.25 1.50 1.75 2.00]; y=[5.10 5.79 6.53 7.45 8.46]; y1=log(y); aa=poly(x,y1,1); a=aa(1); b=exp(aa(2)); y2=b*exp(a*x); plot(x,y,’r+’,x,y2,’k’) xlabel(‘x’); ylabel(‘y’); gtext(‘y=a*exp(bx))’; 结果如下： 如果 是关于点集 （4.8） 用最小二乘法得到的法方程组（4.6），其系数矩阵 是病态的. 带权 正交的 函数族，即 （4.6） （4.9） 则方程（4.6）的解为 且平方误差为 （4.6） 接下来根据给定节点 及权函数 构造带权 正交的多项式 . 注意 ，用递推公式表示 ，即 （4.10） 这里 是首项系数为1的 次多项式， 根据 的 正交性，得 （4.11） 下面用归纳法证明这样给出的 是正交的. 假定 对 及 要证 对 均成立. 由（4.10）有 由（4.10）第二式及（4.11）中 的表达式，有 均成立， （4.12） （4.10） （4.10） 而 ， 于是由（4.12），当 时， 另外， 是首项系数为1的 次多项式，它可由 由归纳法假定， 当 时 的线性组合表示. 由归纳法假定又有 （4.12） 由假定有 再考虑 （4.13） 利用（4.11）中 表达式及以上结果，得 至此已证明了由（4.10）及（4.11）确定的多项式  组成一个关于点集 的正交系. 用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合， 只要根据公式（4.10）及（4.11）逐步求 的同时， 相应计算