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第四章 四边形的性质探索 定理2：平行四边形的对角相等。 例1 如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=10,AD=8,AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长及 ABCD的面积。 2、矩形是平行四边形吗？ 本节学习要点： ⑴ 主要内容： ⑵解题方法： * * * 1.平行四边形的性质 两组对边都不平行 一组对边平行，一组对边不平行 两组对边都平行 四边形 平行四边形 探索：平行四边形的对边、对角、邻 角 及中心对称等性质。 (1) (2) (3) 将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将他们相等的一组边重和，得到一个平行四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同伴交流。 （2）小明拼出了如图所展示的一个四边形，这个四边形的对边又怎样的位置关系？说说你的理由 A B C D 答：这个四边形的对边相等。 为什么呢？理由是什么呢？让我们一起进入今天的课程！ 思考: 2：什么是平行四边形的对角线？ 3：怎样用几何语言表示? 1：什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做平行四边形的对角线。 如图所示四边形ABCD就是平行四边形，记作“ ” ，读作“平行四边形ABCD”，线段BD就是平行四边形ABCD的一条对角线。 ABCD ● A D O C B D B O C A 再看一遍 ● A D O C B D B O C A 我们看到将平行四边形ABCD旋转180度后得到 CDAB,与原 ABCD重合。 O A(C) D(B) B(D) C(A) 1 4 3 2 ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠B=∠D ∠BAD=∠BCD 性质1: 平行四边形对角相等 AD=CB AB=CD 归纳： 性质2: 平行四边形对边相等 定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 已知：AB ∥CD,BC ∥AD, 求证：四边形ABCD是平行四 边形。 A B C D 解： ∵AB ∥CD,BC ∥AD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 定理1：平行四边形的对边相等。 ABCD. 已知: 求证： AB=CD BC=DA A B C D 1 2 3 4 解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,BC=AD。 ABCD. 求证: ∠A＝∠C，∠B＝∠D. 已知: 2 B 1 3 4 A C D 解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D。 56° 30 25 A B C D P99页 1.如图，四边形ABCD是 平行四边形。求： （1）∠ADC，∠BCD的度数； （2）边AB，BC的长度。 解： （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC=56°，∠BCD＝∠BAD=180°-∠ABC=180°-56°=124° （平行四边形的对角相等）。 解： （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=25,BC=AD=30。 如右图，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相较于点O。 （1）图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？ （2）能设法验证你的猜想吗？ A B C D O 解： ①AOB、COD ②AOD、BOC ③ABC、ACD ④ABD、BCD 解：（2）平行四边形的对角线互相平分。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 A D B C O 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD=10, AD=BC=8 ∵ AC⊥BC，∴ΔABC是直角三角形 AC= = = 6 又 OA=OC ∴ OA= AC=3 S =BC·AC=8×6=48 ABCD 知识运用 请同学们在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线 ● A B E D C F 两条平行线，其中一条直线上任一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离 动手量一量所画两平行线之间的垂线段的长度 ，通过测量，你能发现什么？ 例2 1、如图，l1 ∥ l2 ，AB∥CD，则AB与CD是否相等，为什么？ 3、两条平行线间的距离是否相等？ l1 l2 A B D C A D B C 平行线之间的距离处处相等 平行线的又一性质： a b ● A B E D C F 夹在两平行线间的平行线段相等。 一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 ABCD ② 角