列向量的线性组合二.PPTVIP

2.7 极大线性无关组及线性表示系数的求法 1. 向量组秩的求法 2. 向量组极大线性无关组的求法 3. 用极大线性无关组表示其他的向量 n维向量 物理几何论向量， 通观大小及方向。 且看加法与数乘， 代数形式可推广。 分块矩阵向量组， 手足情深常相伴。 线性相关有冗余， 选出代表得精华。 一、填空题 1．若向量组a１，a２，… ，am线性相关，则它的秩（ ）m． 2．一个向量组若含有两个以上的极大无关组，则各极大无关组所含向量个数必（ ）． 3．设a１，a２，… ，ar线性无关，且可由b１，b２，… ，bs线性表示，则r ( ) s． １．设A是n阶方阵且|A|＝0，则（ ） ． 1) A中必有两行（列）元素对应成比例． 2) A中至少有一行（列）的元素全为0 ． 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合． 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合． 二、单选题 相等 ≤ 3 练习题 2．设n阶矩阵A的秩为r，则结论（ ）成立. ①|A| ≠0; ② |A| ＝0; ③ rn; ④ r≤n. 3．向量组a１，a２，… ，as，线性无关的充要条件是（ ） ① r1; ② 它有一个部分向量组线性无关; ③ r≥0; ④ 它所有的部分向量组线性无关. 4．若矩阵A有一个r阶子式D≠0,且A中有一个含有D的r+1阶子式等于零，则一定有（ ） . ① r(A)≥ r ; ② r(A) r ; ③ r(A) = r ; ④ r(A) = r+1. 5．设向量组a１,a２,a３线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ） . ① a１+a２，a２+a３，a３-a１ ② a１+a２，a２+a３，a１+2a２+a３ ③ a１+2a２，2a２+3a３，3a３+a１ ④ a１+a２+a３，2a１-3a２+2a３，3a１+5a２-5a３ ④ ④ ① ③ * * * * * 例10. 讨论下列向量组的线性相关性(要求用“观察法”). (1) (2) 解： 对于(1)组，显然有 (2)组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理5 知(2)组无关. 证明：（反证） 若向量组 b1, b2,…, bm线性相关，则存在一组不全为零的数k1, k2,…, km ,使得 k1 b1 +k2 b2 +…+km bm=o （1） 即 （2） 显然，方程(2)的前 n 行就是 k1a1 +k2a2 +…+kmam=o ， 从而得，a1 ，a2 ，…，am线性相关，矛盾.证毕. 定理5 若向量组 ai=(ai1, ai2, ???,ain) (i=1,2,…,m)线性无关，则向量组 b i=(ai1, ai2, ??? ,ain , ain+1 ) (i=1,2,…,m)也线性无关. 练习题 一、填空题：在向量组a1 ,a2 ,…, ar中，如果有部分向量线性相关，则向量组必（ ）． 二、多选题：下列命题中正确的有（ ） Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关． Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关． Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关． Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关． Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量． 三、分析判断题 ：若a1不能被a2 ,a3 ,…, ar 线性表示， 则向量a1 , a2 ,a3 ,…, ar线性无关．（√×） 四、证明题：设b可由设a1 ,a2 ,…, ar线性表示，但不能 由a1 ,a2 ,…, ar-1线性表示，证明ar可由a1 ,a2 ,…, ar-1 ,b 线性表示． 等价向量组 定义3 设有两个向量组 (I) (II) 如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称向量组(I)与向量组(II)等价. 例11. (I) a１=(1, 0) , a 2=(0, 1) (II) b１=(1, １) , b 2=(１, -1), b 3=(１, 5)两组. 因为, b１=a１＋a２， b 2=a１－a２， b 3=a１＋５a２, 5.4 极大线性无关组 向量组(I)与向量组(II)等价. 等价