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一元二次方程和平行线等分线段定理 主讲：黄冈中学教师 王坤 同步教学 一、一周知识概述 1、平行线等分线段定理： 　　如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等． 　　推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 　　推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 2、一元二次方程的概念 　　只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 　　一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0） 　　ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 二、重点知识归纳讲解 1、平行线等分线段定理及其推论的应用 例1、已知：如图所示，已知平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AA1⊥l，　　 BB1⊥l，CC1⊥l，DD1⊥l，OO1⊥l，证明：A1B1=C1D1. 解析： 　　运用平行线等分线段定理关键是找出一组平行线和这一组平行线截得的相等的线段．在本题中，BO=DO，对应的一组平行线是BB1，OO1和DD1，故B1O1=D1O1，同理，A1O1=C1O1，故B1A1=D1C1. 证明：∵ BB1⊥l，OO1⊥l，DD1⊥l 　　　∴ BB1∥OO1∥DD1． 　　　又∵ 平行四边形ABCD， 　　　∴ BO=DO． 　　　∴ B1O1=D1O1． 　　　同理 A1O1=C1O1， 　　　∴ A1B1=C1D1． 例2、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，M是CD的中点. 　　　求证：MA=MB. 解析： 　　在遇到梯形或三角形一边的中点时，一般过中点作底或另一边的平行线，以便应用平行线等分线段定理的推论．当然，还可采用倍长的方法，构造全等三角形. 证明一：过点M作MN∥BC，交AB于N． 　　　 　　　∵ AD∥BC， 　　　∴ AD∥MN∥BC． 　　　∵ MD=CM， 　　　∴ AN=BN． 　　　又∵ ∠ABC=90°∴ ∠MNB=90°， 　　　∴ AM=BM． 证明二：延长AM交BC的延长线于E． 　　 　　　∵ AD∥BC， 　　　∴ ∠DAM=∠E． 　　　又∵ ∠DMA=∠CME，DM=CM， 　　　∴ △ADM≌△ECM． 　　　∴ AM=EM． 　　　∵ ∠ABE=90°， 　　　∴ BM=AM=EM． 2、一元二次方程的基本概念 例3、下列方程：2x2-=0，x2=0，(x-1)(x-2)=3，x+2x2+1=0，　　 (x-1)(2x+2)=2x2，ax2+x-3=0中，一元二次方程有（ ） 　　　A．6个 　　　　　　　　　　　　B．5个 　　　C．4个 　　　　　　　　　　　　D．3个 解析： 　　要判断一个方程是否是一元二次方程，主要是看这个方程是否只含一个未知数，未知数的最高次数是否为2．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 答案：C 三、难点知识剖析 平行线等分线段的几种变形： ∵ l1∥l2∥l3，AB=BC， ∴ DE=EF. ∵ l1∥l2∥l3，AB=BC， ∴ AE=ED. ∵ l1∥l2∥l3，AE=DE， ∴ FB=BC. ∵ l1∥l2∥l3，AB=BD， ∴ EB=BC.