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第五节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 待解决的问题 : 定理1 . 定理2. 二、函数展开成幂级数 例1. 将函数 例2. 将 例3. 将函数 2. 间接展开法 例5. 将函数 例6. 将 例7. 将 内容小结 思考与练习 例3 附注 备用题 1. 2. 将 第六节 一、近似计算 例2. 计算 说明: 在展开式 例3. 利用 例4. 计算积分 例5. 计算积分 二、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 欧拉 (1707 – 1783) 则 n 应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值, 精确到 解: 由于 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 上连续, 且有幂级数展开式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称 ① 收敛 , 且其和为 绝对收敛 收敛 . 若 收敛, 若 对复数项级数 ① 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 当 x = 0 时, 的幂级数展式一致. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 则在 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可推出: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 对应 的二项展开式分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页