逢山开路模型-Read.DOCVIP

逢山开路模型 小组成员：李莉 朱国斌 景建岗 摘要： 在本问题的求解中，修桥和挖隧道是两个相类似的求解过程，我们将求解过程分为两个部分：第一、对河岸边一固定点，将桥修在处时，求解由起始点到经固定点到居民点的最短路线。第二、如何确定的位置，使得总路线的费用最小。我们分别用了两个模型来进行这两部分内容的求解。模型一、针对坡度的限制，利用小区域内的局部最优来达到全局最优。模型二、列出点有一定的位移时，可以减少的费用的函数方程，然后利用河岸附近等高线较紧密，公路不能沿偏离等高线方向前进的特性，求出减少的费用的条件极值，从而确定最佳修桥地点。最后，我们利用模型一、二的原理对隧道部分的公路做了同样的优化设计，然后得出总的修路费用估计为324万元，较合理。最后，我们对整个做法的误差及合理性做了分析。 问题的提出 要在山区修建公路，首先测得该地区的一系列的点的高程，数据显示：在处有一条东西走向的山峰；从坐标到有一西北——东南走向的山谷；在附近有一山口湖，其最高水位略高于，雨季在山谷形成一溪流，经调查知，雨量最大时溪流的水面宽度于（溪流最深处）坐标的关系可近似表示为： 路段工程成本及路段坡度的限制已知。 要解决以下问题：（1）如何安排公路的设计路线，使得从山脚的处开始，经居民点至矿区的总成本最低。 （2）如果居民点改为，的居民区，而公路只需经过居民区即可，设计方案应如何变动？ 问题的假设 认为地貌基本上是平稳变化的，即不存在悬崖、断层、地堑等地形； 不计岩石、地层等建筑因素，认为任何一处的地面由于修建公路的没有差别； 不计修路过程中的交通费用，成本只与路面的长度有关； 修桥和挖隧道时，不存在人任何技术问题，从任何一点均可以打通隧道，在任何一点都可以搭起桥梁； 修路时，不计路面的宽度，不计横向坡度对路面的影响； 在问题的分析中，我们需要对已知的数据做插值计算，建议采用三次样条插值，因为三次样条插值可以保证路面基本光滑。但是三次样条插值的运算量十分大。而且本题中的数据量比较大，所以我们在解决问题时可以采用线性插值法来进行插值，关于线性插值法的优缺点我们在最后的误差分析中在进一步讨论。 问题的分析 首先我们由已知的高程画出该地区等高线示意图和地貌图，（见图一和图二），图中轴和轴的一个单位代表。 图一：等高线分布图 图二：地貌图 在这个问题中最主要的问题就是确定桥梁和隧道的位置。由于，桥梁和隧道的修建费用远远高于普通道路的修建费用，所以我们要尽量减少桥梁和隧道的长度。 我们采用逐步细化的方法。我们首先来设计从起始点到居民点的路线。为了减少桥梁的建设费用，我们设定桥梁的宽度刚好使得每年的水量最大时不致淹没桥梁。即桥宽等于水量最大时的水面宽度。观察我们所绘的地形地貌图，我们认为，在溪流的两侧的地形基本对称，所以我们依据溪流的方程及水面宽度函数可得方程： 溪流的西面方程为： 溪流的东面方程为： 为了尽量减少桥宽，我们应使桥建立在尽可能高的地方，例如图中的A1的位置。我们把问题分为两个： 何设计从起点到A1的路线使得普通公路的修建费用最低。 如何设计从A1点到居民点的路线使得普通公路的修建费用最低。 如何修正A1点的位置使得从起始点到居民点的总费用最低。对于这个问题，我们考虑由于由A1点向上的等高线十分紧密，不适合修建上下坡的。所以我们假设，公路到了A1点之后如果公路沿着河岸再修一段路，这时修建普通公路增加的费用和修桥减少的费用在何处达到平衡，这个平衡点就是桥应该选取的位置。这是从起始点到居民点的总费用最少。 图三：对等高图标记 模型一： 我们首先研究由起始点到A1的普通公路的修建费用。我们使用以下模型进行计算： 在上图中，对任意的起点和终点，我们要使得从起点到终点的距离最短，起点附近区域的高程已知。不计路面状况的话两点间的直线距离最短，由于坡度的限制，这时我们就要考察由起点到交点的坡度是否符合道路的修建要求，如果符合的话，就选交点为新的起点，如果不符合坡度的要求，就在该区域的边界上对做一个移动，使得移动后的点符合要求，如果的选取不唯一，就要利用直观分析法，选取最适合实际情况的点。一旦选定新的起点（点或点），设为，然后对点到终点按照原来的方法进行同样的分析。这样做下去，就可以得到一条由起始点到终点的最优路线。经计算，所得数据如下表： 起点O B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 假设终点P 实际终点 x 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2477.62 2786.69 2933.61 2800 2800 y 800 639.626 474.558 419.824 419.824 486.942 668.289 800 1200 1600 2000 1830.98 H 650 703.869 757.959 8