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通法→巧法→模式
通法→巧法→模式
-----------例谈高考数学复习教学
数学问题的解决常是通过最基础的思考方式,逐步提炼、升华,以揭示本质,逼近真相,最终得出结论.因而,解数学题,既要会通法,又要求巧法,思维能力提高了,巧法可化为通法,这就是我们常说的问题思考模式.下面就一些例子加以说明.
例1.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰好有两个空位相邻的不同坐法有( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 96
分析:本题有三种常规方法:(1)“稳定”空位,再坐人。(2)“孤立”双空位,再排第三人.(3)“洗清”杂质。分别介绍如下:
“稳定”空位,再坐人.
第一步,“捆好”双空位,放进格中,如左图所示, 则另外一个空位有3种放法
若将双空位放在右图所示位置,则另一空位有2种放法,这样,共有(3+2+2+2+3)种.
第二步,当安排好空位后,再安排坐人,有种坐法,
故共有坐法(3+2+2+2+3)=72(种).
(2)“孤立”双空位.
置好双空位,如左图,则第三个位置一定置人,剩下三位置排2人,这种情况有种坐法;置好双空位,如右图,则两边必须置人,这种情况共有3种方法;故共有坐法=36+36=72(种).
(3)“洗清”杂质.
6个位置坐3个人,有种。其中杂质为:“3个空位在一起”;“3个空位各不相邻”。
3个空位在一起,共有种;3个空位各不相邻,满足插空法,有种。共有=120-24-24=72(种)
提炼:以上方法无论从先排空位入手,还是从先坐人入手,都离不开分类讨论,一旦分类不全,就会出错,如果提高思维层次,这些错误就可避免,思考方法是:坐好了人,再放 “空椅”,“空椅”有“单椅”和“双椅”不同,属排列问题,故有=612=72(种)
这样,既保证有双空位成整体,且与单空位不相邻,见解独到,精辟.
例2.(05全国高考)过三棱柱任意两点的直线共有15条,其中异面直线有( )
A .18对 B.24对 C.30对 D.36对
分析:这是一道以立几为载体的排列组合题,既考查异面直线,又考查排列组合知识.解题方法多样,下面对本题的各种解法一一评析:(1)去杂;(2)分类讨论;(3)寻求空间四面体.
(1)去杂.
从15条棱中任取两条棱,共有C种取法;去掉上、下底面各三条共面棱及三条平行侧棱,应去3种;再去每个侧面的6条共面的棱,应去3种;还要去掉每顶点与对棱(如A-BC)的共面三条,去掉6.
故异面直线有:=(对)
(2)分类讨论.
从正面入手:底面与底面中的异面直线有6对;底与侧棱中的异面直线有6对;底与对角线中的异面直线有18对;侧面与对角线中的异面直线有6对;共有36对.
(3)寻求空间四面体.
我们知道,由两条异面的棱的端点任意相连,将构成空间四面体,而每一个空间四面体上都有三对棱是异面的,这样,问题转化为从三棱柱寻找空间四面体的个数.
从6个点中取4个点,有种选法,再去掉每一个侧面上的四个共面点,有3种,因而共有:(对).
思考的角度不同,解决问题的高度当然不同.因此,在平时的解题中,要不断地积累,深刻地理解,从众多的解法中探求精解,巧解,妙解.从而,不但可以提高思维能力,而且可以培养学习数学的兴趣.
例3.已知直线:⊙:(为圆心). 与⊙交于相异两点.求面积的最大值.
分析:直线过定点(,0),此直线在旋转过程中,若与x轴重合,则=0,这不可能,所以三角形面积不会为0.而三角形面积最大时,应该是M,N两点高度差达到最大时,因为PE为定值.定性地分析,可以发现这道题存在最大值.
为培养学生的解题能力,要让学生用尽可能多的方法.
(1)运用;
(2);
(3).
解:(1)设∠MEN=,则=
<<
.此时,
(2)由s=,再由(1)得知0<d.
设d=sin ()得s=sincos=
(3)联立与⊙E的方程
设有.
从而=,
,令t=
则s=.
.
评析:无论是方法(1),还是方法(2)都必须求出d的取值范围 。而方法(3)就不必考虑d的范围,这就是设而不求的优势;然而,回头一望,原来最初的分析,只要弦与x轴垂直的时,面积最大,即当x=时,y=,此时的弦长为,口算就可以求出面积的最大值.真是妙不可言.
例4.AB为不垂直与抛物线对称轴的过焦点的弦.求证:对于抛物线任一条弦CD,直线AB 不可能是它的垂直平分线.
分析:实际上,题目的意思是说,抛物线上不可能存在相异两点C,D,关于抛物线的焦点弦AB对称,对于这类命题,常用反证法.下面请从几种解法中鉴别出最好的解法
本题主要方法有:(1)判别式法;(2)点差法;(3)反证法.
解:(1)如图所示,设弦CD被焦点弦AB垂直平分,若AB方程为
则CD方程为解方程组
得
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