《数学地质》6讲(11,12,13) 判别分析.docVIP

第11，12，13课 判别分析（Discriminant Analysis） 讲五个问题： 什么是判别分析； 费歇准则下的二组判别分析； 贝叶斯多组判别分析； 多组逐步判别分析； 问题讨论和实例。 一、什么是判别分析 概念：判别分析是一种判别样品所属类型的统计方法。 思想：根据已知类型的样品，按其特征，构造一个判别函数，定出划分类型的界线，并对新样品所属类型进行判别（也可对已知类型的样品进行判别检验）。 类型：若判别类型是两个时，称两组判别分析。如油层、水层；有矿、无矿等。若判别的类型是两个以上时称多组判别分析。如油层、气层、水层；泥岩、砂岩、灰岩等。 原则：两组判别分析是在fisher意义下求解，多组判别是在Bayes意义下求解。 原理：见如下几何图形所示： 当P=2时： 当在P维时： —综合指标，是的线性函数，也有非线性的。 式中：—判别系数。 应用： 判别和检验样品的所属类型； ◆评价，如岩体评价，区别海相或陆相砂岩，区别含油层或含水层。鉴别矿物、岩石类型和古生物的种属； ◆地层和岩相的划分； ◆解释砂体的构造背景，区别沉积条件和环境，火山构造类型等。 二、两组判别分析—Fisher准则 前提条件：A、B两类总体，A组取了个样品，B组取了个样品，每个样品测定了P个指标，原始数据见教材。 1、求线性判别函数y 式中：—待定系数 —指标 问题的关键是如何求得，使得A、B两组分的很清楚，即要得到值，使得A、B区分开。 原则：Fisher：类间差别要大，类内差别要小。 综合指标 A类 （个样品） 综合指标 B类 （个样品） A类样品用 ——代表 = A类样品用 ——代表 = A类内差别为： B类内差别为： 类内差别为： 类间差别为： Fisher准则：使达到极大，求出。即： 根据数学分析中求极值原理，即使： 即得： 因： 式中： 式中： 有： 将两式代入原式得： 令：， 则： （j=1,2,…,p）] 即为P阶线性方程组。 方程组右端是一个常数因子，它对方程组的解只取扩大倍的作用，故取=1将方程组写成矩阵形式，即有： （即：） 此时有： 即得到线性判别函数： 2、判别 计算：——A类代表 ——B类代表 ——判别指标 判别： 若，则时，属于A类。，则属于B类。 3、检验 （1）对判别函数的检验。 计算一个马哈拉诺比斯（Mahalanobis）距离。 统计量为： 对给定的，若： ，则认为判别函数是显著的，反之不显著。 （注：显著则说明P个指标能够分辨A、B两个总体） （2）对各个判别指标的检验。 因为是有由P项构成的，因此第K项在中所占的比重，就代表了第K个指标对总距离的贡献，即大，则说明贡献大，反之，贡献小。 先算出 再求出各指标的贡献： 4、应用实例（见P139—例1） 习题：P（五）二十一 1 第12课 三、多组判别分析 1、什么是多组判别分析 问题的提出： 实际工作中需要对多种类型的样品进行判别，如：油层、气层、水层、干层等，这就需要多组判别分析来解决了。 设有m个总体，第g个总体的样品个数为(g=1,2,…,m)，每个样品测定了P个指标，此时，可写成： ——第g类，第j个样品第k个指标的观测值。 原始数据可写成： 总共取了N个样品， 现有一新样品，，试判别它属于已知m类的哪一类。 分析： 仿两组判别，求出判别函数，两组求一个判别函数，三组就要求三个判别函数（即：1~2；2~3；1~3）；四组就要求6个，一般地说，若有m组，就要求，这样计算量太大，对一个新样品也得计算多个判别值，比较起来，十分困难。因此，求判别函数的方法对多组判别不适用。 在多组判别分析中，我们是这样考虑的。在判别中，我们可能犯这样的错误，即把本应属于g组的样品错分到n组，或者把n组的样品错分到了g 组，这种错误是在所难免的，我们只希望由此造成的平均损失尽可能的小。平均损失最小的准则称为Bayes准则。 平均损失最小用左图解释： 解释：小圆对第1类来说，错分的损失等于0，而对2，3类就不等与0，要找出一种划分法，使得平均错分的损失为最小。 2、Bayes准则 贝叶斯准则就是计算样品y属于各组的概率 （g=1,2,…,m），然后比较这m个概率的大小，将样品y归于最大的那一组。 根据贝叶斯公式，样品y属于第g组的后验概率（条件概率）为： 式中： —第g组的先验概率，其估计值为： —样品y在第g组的概率密度。 要计算关键是要知道y在各总体的概率密度。 3、正态总体的判别 设m个总体均服从P维正态分布，即： —第g个总体的期望； —第g个总体的协方差。 于是第g个总体的概率密度为： 式中： —的逆矩阵。 设