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pdf第3.4节线性方程组解的结构
P.77 定理3.2 第3.4节 线性方程组解的结构 对于齐次线性方程组 必有零解 ⎧a11 x1 +a12 x 2 + +a1n xn 0, ⎪ a x a x a x 0, ⎪ 21 1 + 22 2 + + 2 n n 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 ⎨ ⎪ • 解的存在定理 ⎪ •非零解的存在定理 a x +a x + +a x 0. ⎩ m 1 1 m 2 2 mn n •基础解系 •通解(全部解) 齐次线性方程组有唯一零解 r (A) n 齐次线性方程组有非零解(无穷多解) r (A) n • 通解(全部解) 注 (1)当m n 时, 有非零解. P.78 定理3.2之推论1 (2)当m =n 时, 有非零解 A 0 P.78 定理3.2之推论2 一、齐次线性方程组解的性质和结构 性质1 若 ξ ,ξ 是齐次线性方程组的解，则 ξ +ξ 也是它的解。 1 2 1 2 证明 由已知条件，有 Aξ o Aξ o 1 2 从而 A(ξ +ξ ) Aξ =+Aξ o =+o o 1 2 1 2 即ξ +ξ 是方程组（3.47）的解。 1 2 性质2 若ξ 是齐次线性方程组的解，则cξ（c为任意常数)也是它的解 ， 注 由性质1和性质2得： 注 齐次线性方程组的一个基础解系就是它的解向量组 若 ξ ,ξ , ,ξ 是齐次线性方程组的解，则其线性组合
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