0-场论与张量（数学基础）.pptVIP

若二阶张量分量 之间满足 则称此张量为反对称张量，可表示为 一个二阶反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素均为零。 反对称张量 共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 （2）笛卡尔张量 张量分解定理 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和 容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。 共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解 （2）笛卡尔张量 哈密顿算子 利用张量下标表示法哈密顿算子可写为 一个具有微分及矢量双重运算的算子 （1）指标表示法和符号约定 利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。 梯度 散度 哈密顿算子 （1）指标表示法和符号约定 旋度 哈密顿算子 （1）指标表示法和符号约定 拉氏算子 哈密顿算子 （1）指标表示法和符号约定 例2. 已知, , 求: 解（1） （1）指标表示法和求和约定 是位置矢量。 （2） （1）指标表示法和求和约定 （3） （4） （1）指标表示法和求和约定 （5） （6） * 标 量 和 矢 量 §1 标（数）量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 例如,在直角坐标下, 标量场--等值线(面). 其方程为 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 在某一高度沿某方向对距离的变化率？ 标量场的方向导数和梯度 一、方向导数 设 为标量场 中的一点，从 出发引一条 ，在 上点 的邻近取一动点 ，记 ．若当 时比式 射线 的极限存在，则 称它为函数 在点 处沿 方向的方 向导数，记作 由此定义可知，方向导数 等是在一个点沿 方向的函数 对距离的变化率． 在直角坐标系中，方向导数有如下面定理给出的计算公式． 定理：若函数 在点 处可微； 为 方向的方向余弦．则函数在点 处沿 方向的方向导数必存在，且由如下公式给出 单位向量 矢量 方向导数的最大值为 二、梯度的定义 若在标量场 中的一点 处，存在这样一个矢量 ，其方向为函数 在 点处变化最大的方向， 其模也正好是最大变化率的数值，则称矢量 为函数 在点 处的梯度，记作 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; 一、通量 ? 0 (有正源) ? 0 (有负源) ? = 0 (无源) 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: §2 矢量场的通量与散度 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分 二、散度 如果包围点P的闭合面?S所围区域?V以任意方式缩小为点 P 时, 通量与体积之比的极限存在，即 则称此极限为矢量场 在点P处的散度 ?? A= 0 (无源） ?? A= ???0 (负源) ?? A= ??0 (正源) 矢量的散度是一个标量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，是该点对一单位体积所穿出的通量，称该点处源的强度 定理：在直角坐标系中，矢量场 在任一点 处的散度为 推论：奥氏公式 矢量函数的面积分与体积分的互换。 §3 矢量场的旋度 一、环量 在笛卡尔坐标系中，矢量 的旋度为 二、旋度 斯托克斯公式 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面， Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)及R(x,y,z)在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有斯托克斯公式： 格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式： L是D的的整个边