微分几何教学大纲-复旦大学.docVIP

高等数学A教学大纲 (Higher Mathematics) 课程代码 218.101.1-2 编写时间 2004年6月 课程名称 高等数学 英文名称 Higher Mathematics 学分数 5+5 周学时 5+1,5+1 任课教师* 童裕孙等 开课院系** 数学学院 预修课程 高中数学 课程性质： 理科基础课（理科自然科学类和技术科学类本科一年级学生） 基本要求和教学目的： 要求学生掌握一元和多元微积分的基本理论、基本方法和基本运算，掌握线性代数的基本概念和基本方法，能用微积分、常微分方程和线性代数的工具解决自然科学和技术科学中提出的一些简单的应用问题。高等数学的教学目标不仅在于引导学生掌握基本的数学工具，而且旨在培养学生理性思维的能力，启迪学生的智慧和创新意识。 课程基本内容简介： Ⅰ 一元函数微积分：55+11 Ⅱ 线性代数与空间解析几何：48+10 Ⅲ 多元函数微积分：62+12 Ⅳ 常微分方程：15+3 教学方式: 课堂讲授、课后练习 教材和教学参考资料 作者 教材名称 出版社 出版年月 教材 童裕孙等 高等数学（上），高等数学（下） （第二版） 高等教育出版社 2004年4月、5月 参考资料 李忠等 高等数学简明教程 北京大学出版社 1998年 陈纪修等 数学分析 高等教育出版社 2004年 姚慕生 高等代数 复旦大学出版社 2003年 教学内容安排： 高 等 数 学（下） Ⅱ 线性代数与空间解析几何（二） 五、线性空间和线性变换（2）（学时数：6+2） 教学内容 1．二次型及其标准形式 二次型与对称矩阵；化二次型为标准形的几种方法。 2．正定二次型 惯性定理；正定二次型和对称正定矩阵；二次曲线的分类；用Cholesky分解解线性方程组。 教学要求 1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的标准形、规范形的概念，了解惯性定理。 2．掌握化二次型为标准形的几种方法。 3．掌握二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。 六、空间解析几何（学时数：7+1） 教学内容 1．外积和混合积的性质及运算。 2．直线和平面的各种常用方程。 3．点到平面、直线的距离，直线与直线、直线与平面的交角。 4．曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5．空间曲线的参数方程和一般方程。 教学要求 1．掌握向量的外积和混合积的概念、性质及运算。 2．掌握常用平面方程和直线方程及其求法，能根据平面和直线的相互关系解有关问题。 3．掌握点到平面、直线的距离的计算方法，掌握直线与直线、直线与平面的交角的计算方法。 4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5．了解空间曲线的参数方程和一般方程。 Ⅲ 多元函数微积分 七、多元函数微分学（学时数：20+4） 教学内容 1．多元函数的极限与连续 中的点集；多元函数的概念；多元函数的连续性；有界闭区域上连续函数的性质。 2．全微分与偏导数 全微分；偏导数；偏导数与全微分的计算；空间曲面的切平面（1）；高阶偏导数；可微映射；空间曲线的切线（1）。 3．链式求导法则 多元函数求导的链式法则；全微分的形式不变性；复合映射的导数；坐标变换下的微分表达式。 4．隐函数微分法及其应用 一元函数的隐函数存在定理；多元函数的隐函数存在定理；多元函数组的隐函数存在定理；空间曲面的切平面（2）；空间曲线的切线（2）。 5．方向导数、梯度 方向导数；数量场的梯度；等值面的法向量；势量场。 6．Taylor公式 二元函数的Taylor公式；元函数的Taylor公式。 7．极值 多元函数的无条件极值；函数的最值；最小二乘法；条件极值。 教学要求 1．了解中点的邻域、内点、开集、区域等概念。 2．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 3．理解多元函数的极限及连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。 4．理解多元函数的全微分和偏导数的概念，掌握偏导数和全微分的计算法，了解全微分在近似计算中的应和，掌握高阶偏导数的计算。 5．掌握多元函数求导的链式法则，了解全微分的形式不变性。 6．了解可微映射的概念，了解复合映射的求导法则。 7．会计算坐标变换下的微分表达式。 8．会求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。 9．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。 10．了解二元函数和元函数的Taylor公式。 11．理解多元函数的极值与条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件和充分条件，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单的多元函数的最大值和最小值问题的解。