高中数学选修课--对称与群.pptVIP

第七讲 对称与群 “对称”与“群”有何关系？ 平面图形对称性的分类： 1、左右对称性：如轴对称图形； 2、镜像对称性：一个平面把两方隔开； 3、平移对称性：竹子、蜈蚣、一维时间中，等 间隔的重复音乐等； 特点在于每隔一段（时间、距离）就会出现完全重复 的图形，就象图形平移后所留的痕迹； 没有对称要素，极易被忽视 4、转动对称性：花瓣、雪花 2.2.2 平面刚体运动的性质 对称与群 ①S(N)中任意两个元素 , 相继作用的结果仍保持N整体不变，故 仍在S(N)中,称之为S(N)中的运算满足封闭律(一般说“运算”,就隐含封闭,为强调,单列一条)； ②S(N)中任意三个元素 ， ， 的运算， 是先做 的运算还是先做 的运算，效果是一样的，称之为S(N)中的运算满足结合律； 对称与群 ③S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的1与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元律; ④对S(N)中任一元素 ，S(N)中一定有一个元素 使与 相继作用的效果，恰相当于③中的恒等变换，即不动， 称 为 的逆元，这称为S(N)中的运算满足逆元律; N的对称集S(N) 叫作“N的对称变换群”. * * 从图形和n元多项式的对称性出发，对称群的概念和表示方法——几何图形中具体的群——抽象群及应用 一.对称1.1.人们身边充满了对称: 比如: 人体 雪花 鼠标 对称与群 对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 两国交战非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争 其它的一些对称 对称与群 对称与群 对称与群 上面我们看到各种各样的“对称”，得到了感性认识，下面要考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。什么是对称的共性？什么是对称的本质？下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“多项式的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于“对称”的统一的本质。 对称与群 二:平面图形的对称 人们一般会说，大圆与小圆有相同的对称性，大正方形与 小正方形有相同的对称性；也会说，圆比正方形更对称 些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角 形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。 正三角形与正方形谁“更”对称一些？ 对称与群 2.1 在运动中看 “对称” 让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。 可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：反射；旋转；平移。 对称与群 2.2 从不变性看“对称” 以上三种运动共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，借用物理学中的一个名词，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，把这种“保持距离不变“的映射统称为“平面刚体运动”。 刚体是指在运动过程中任意两点间的距离保持不变的物体。 2.2.1 平面刚体运动的定义： 对称与群 变中有不变 注意，在上述“运动”的定义下,“不动”也是一种“运动”,它可以看成旋转0o的“运动”,也可以看成平移 a=0 的“运动”.这样，任何平面图形都会在某种“运动”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“运动”下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆说它“不对称”. 由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使某平面图形 K 不变的“运动”放在一起,构成一个集合,记为S(K)，并称其为K的对称集. 逆时针旋转120度 对称与群 如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢? 对称与群 |S(K)|=∞ |S(K)|=8 |S(K)|=12 |S(K)|=6 |S(K)|=1 |S(K)|=0 2.3 抽象观点与具体例子的对照 把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述 对称与群 |S(K)|=∞ |S(K)|=8 |S(K)|=12 |S(K)|=6 |S(K)|=1 |S(K)|=0 2.3 抽象观点与具体例子的对照 把S(K)中元素多少作为K的对称性的量化的描述 对称与群 定性的描述上升为定量的描述 正三角形与正方形谁更对称一些？ |S(K)|=6 |S(K)|=8 正方形比正三角形更对称一些。 对称与群 2.4 小结 从 “对称”，发现 “变中有不变” ，提出“运动不变性”；把保持不变的运动放到一起，构成一个集合，称之为“对称集”，用它来描述对称性；最后，我们