总结第6章 常微分方程数值解法.pptVIP

第6章 常微分方程数值解法 §1 引言 §2 欧拉法和改进的欧拉法 §3 龙格库塔法 §4 阿达姆斯方法 §5 二阶线性常微分方程边值问题的数值解 相关定义 微分方程：包含自变量，未知函数及未知函数的导数或微分的方程。 常微分方程：在微分方程中，自变量的个数只有一个。 偏微分方程：含有多个自变量的微分方程。 相关定义 阶数：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。 线性微分方程：如果未知函数y及其各阶导数都是一次的。 非线性微分方程： 典型方程的解法：可分离变量法，常系数齐次线性方程的解法，常系数非齐次线性方程的解法 。 但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解的。如 从实际问题中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。 本章主要讨论一阶常微分方程初值问题在区间[a，b]上的数值解法。 存在唯一定理： 如果函数f(x，y)在带形区域R： ｛a≤x≤b，-∞＜y＜+∞｝ 上为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨(Libusize)条件 |f(x,y1)-f(x,y2)|≤L|y1-y2| (6―2) 对R内任意两个y1，y2都成立，则方程的解y=y(x)在[a，b]上存在且唯一。 §1 常微分方程数值解法的建立 对常微分方程初值问题的数值解法就是 要算出精确解y(x)在一系列 离散结点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b处的 函数值y(x0), y(x1), y(x2), …, y(xn) 的近似值y0,y1, y2,…, yn 。 基本出发点就是离散化。 数值解法的基本特点：采用“步进式”，即求解过程顺着结点排列的次序一步一步地向前推进。 描述这类算法，要求给出一个递推式。建立这类递推公式的基本方法就是数值微分、数值积分、泰勒展式等离散化方法。 单步迭代法：计算yi+1时只用到xi+1, xi, yi。 代表：龙格—库塔法 多步迭代法：计算yi+1时除用到xi+1, xi, yi，还用到xi-p, yi-p (p=1,2, …k)。 代表：亚当斯法 §2 欧拉法和改进的欧拉法 一、欧拉法基本思想 离散结点a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b， h= xi-xi-1 xi=x0+ih 积分曲线上每一点(x,y)的切线的斜率y(x)等于函数f(x,y)在该点的值 例1 用欧拉法求初值问题 欧拉法优点：形式简单，计算方便， 欧拉法缺点：比较粗糙，精度也低。特别当y=y(x) 的曲线曲率较大时，欧拉法的效果更差。 二、改进的欧拉法 注意：欧拉公式是关于yi+1的显式;而改进的欧拉公式中的yi+1以隐式给出，且yi+1含在函数f(xi+1 , yi+1)中。 具体做法是：先用欧拉公式求出一个y(0)i+1作为初始近似，然后再用改进的欧拉公式进行迭代，即 直到满足 当h足够小时，可使得 三、 预估校正法 所谓预估校正法，就是先用欧拉法算出yi+1的预估值y(p)i+1，然后再用改进欧拉法进行一次迭代便得到校正值y(c)i+1，即 虽然式(6―7)仅迭代一次，但因进行了预先估计，故精度却有较大的提高。 在实际计算时，还常常将式(6―7)写成下列形式： 例 2求解初值问题 解：现分别用欧拉公式和改进的欧拉公式进行计算。 这里欧拉公式的具体形式为 第6章 常微分方程数值解法 第6章 常微分方程数值解法 一阶常微分方程 (6―1) (6―1) 图 6.1 y-y0=f(x0,y0)(x-x0)? y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0)=y0+f(x0,y0)h y-y1=f(x1,y1)(x-x1)? y2=y1+f(x1,y1)(x2-x1)=y1+f(x1,y1)h 欧拉公式 （折线法） 的数值解(取h=0.1)。 解 因为 故由欧拉计算公式得 (6―4) 表 6―1 图 6.3 (6―5) 这样得到的点列仍为一折线，只是用平均斜率来代替原来一点处的斜率。 (ε为预给精度) 否则取 再转到下一步计算。 这里必须特别说明，因为初值问题满足李普希茨